Theorem zletr 9316

Description: Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zletr	⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))

Proof of Theorem zletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9271	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2		zre 9271	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3		zre 9271	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4		letr 8054	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1290	1 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ℝcr 7824   ≤ cle 8007  ℤcz 9267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltwlin 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-neg 8145  df-z 9268

This theorem is referenced by:  uztrn  9558  uzss  9562  elfz0ubfz0  10139