Theorem zletr 9452

Description: Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zletr	⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))

Proof of Theorem zletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9406	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2		zre 9406	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3		zre 9406	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4		letr 8185	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1292	1 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4054  ℝcr 7954   ≤ cle 8138  ℤcz 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-pre-ltwlin 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-iota 5246  df-fv 5293  df-ov 5965  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-neg 8276  df-z 9403

This theorem is referenced by:  uztrn  9695  uzss  9699  elfz0ubfz0  10277