Theorem zletr 9519

Description: Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zletr	⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))

Proof of Theorem zletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9473	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2		zre 9473	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3		zre 9473	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4		letr 8252	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1313	1 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐽 ≤ 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021   ≤ cle 8205  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltwlin 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-neg 8343  df-z 9470

This theorem is referenced by:  uztrn  9763  uzss  9767  elfz0ubfz0  10350