Theorem znnnlt1 9003

Description: An integer is not a positive integer iff it is less than one. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
znnnlt1	|- ( N e. ZZ -> ( -. N e. NN <-> N < 1 ) )

Proof of Theorem znnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnz1 8978	. . . 4 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
2	1	baib 887	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N e. NN <-> 1 <_ N ) )
3	2	notbid 639	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. N e. NN <-> -. 1 <_ N ) )
4		1z 8981	. . 3 |- 1 e. ZZ
5		zltnle 9001	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N < 1 <-> -. 1 <_ N ) )
6	4, 5	mpan2 419	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( N < 1 <-> -. 1 <_ N ) )
7	3, 6	bitr4d 190	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. N e. NN <-> N < 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1463   class class class wbr 3895   1c1 7545   < clt 7721   <_ cle 7722   NNcn 8627   ZZcz 8955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-addass 7644  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-ltadd 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-inn 8628  df-n0 8879  df-z 8956

This theorem is referenced by: (None)