Theorem uzss 9875

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzss

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9866	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> M <_ N )
3		eluzel2 9858	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4		eluzelz 9863	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	3, 4	jca 306	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		zletr 9627	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
7	6	3expa 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
8	5, 7	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
9	2, 8	mpand 429	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> M <_ k ) )
10	9	imdistanda 448	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
11		eluz1 9857	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) )
12	4, 11	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) )
13		eluz1 9857	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
15	10, 12, 14	3imtr4d 203	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
16	15	ssrdv 3244	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   ` cfv 5352   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltwlin 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  uzin  9887  uzuzle35  9897  uznnssnn  9909  fzopth  10395  4fvwrd4  10474  fzouzsplit  10515  seq3feq2  10838  seq3split  10850  cau3lem  11799  isumsplit  12177  isumrpcl  12180  clim2prod  12225  isprm3  12815  pcfac  13048  plycoeid3  15622