Theorem uzss 9777

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzss

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9768	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> M <_ N )
3		eluzel2 9760	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4		eluzelz 9765	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	3, 4	jca 306	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		zletr 9529	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
7	6	3expa 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
8	5, 7	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
9	2, 8	mpand 429	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> M <_ k ) )
10	9	imdistanda 448	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
11		eluz1 9759	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) )
12	4, 11	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) )
13		eluz1 9759	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
15	10, 12, 14	3imtr4d 203	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
16	15	ssrdv 3233	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   <_ cle 8215   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltwlin 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  uzin  9789  uzuzle35  9799  uznnssnn  9811  fzopth  10296  4fvwrd4  10375  fzouzsplit  10416  seq3feq2  10738  seq3split  10750  cau3lem  11675  isumsplit  12053  isumrpcl  12056  clim2prod  12101  isprm3  12691  pcfac  12924  plycoeid3  15483