Theorem uzss 9370

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzss

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9362	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> M <_ N )
3		eluzel2 9355	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4		eluzelz 9359	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	3, 4	jca 304	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		zletr 9127	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
7	6	3expa 1182	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
8	5, 7	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
9	2, 8	mpand 426	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> M <_ k ) )
10	9	imdistanda 445	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
11		eluz1 9354	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) )
12	4, 11	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) )
13		eluz1 9354	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
15	10, 12, 14	3imtr4d 202	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
16	15	ssrdv 3108	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   ` cfv 5131   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltwlin 7757

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  uzin  9382  uznnssnn  9399  fzopth  9872  4fvwrd4  9948  fzouzsplit  9987  seq3feq2  10274  seq3split  10283  cau3lem  10918  isumsplit  11292  isumrpcl  11295  clim2prod  11340  isprm3  11835