Theorem zre 9652

Description: An integer is a real. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zre	|- ( N e. ZZ -> N e. RR )

Proof of Theorem zre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9650	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   RRcr 8178   0cc0 8179   -ucneg 8499   NNcn 9306   ZZcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8501  df-z 9649

This theorem is used by:  zcn  9653  zrei  9654  zssre  9655  elnn0z  9661  elnnz1  9671  peano2z  9684  zaddcl  9688  ztri3or0  9690  ztri3or  9691  zletric  9692  zlelttric  9693  zltnle  9694  zleloe  9695  zletr  9698  znnsub  9700  nzadd  9701  zltp1le  9703  zleltp1  9704  znn0sub  9714  zapne  9723  zdceq  9724  zdcle  9725  zdclt  9726  zltlen  9728  nn0ge0div  9737  zextle  9741  btwnnz  9744  suprzclex  9748  msqznn  9750  peano2uz2  9757  uzind  9761  fzind  9765  fnn0ind  9766  eluzuzle  9939  uzid  9945  uzneg  9950  uz11  9954  eluzp1m1  9955  eluzp1p1  9957  eluzaddi  9958  eluzsubi  9959  uzin  9964  uz3m2nn  9982  peano2uz  9992  nn0pzuz  9996  eluz2b2  10012  uz2mulcl  10017  eqreznegel  10023  lbzbi  10025  qre  10034  elpq  10059  zltaddlt1le  10420  elfz1eq  10449  fznlem  10455  fzen  10457  uzsubsubfz  10462  fzaddel  10475  fzsuc2  10496  fzp1disj  10497  fzrev  10501  elfz1b  10507  fzneuz  10518  fzp1nel  10521  elfz0fzfz0  10543  fz0fzelfz0  10544  fznn0sub2  10545  fz0fzdiffz0  10547  elfzmlbp  10549  difelfznle  10552  nelfzo  10569  elfzouz2  10579  fzo0n  10585  fzonlt0  10586  fzossrbm1  10592  fzo1fzo0n0  10605  elfzo0z  10606  fzofzim  10610  eluzgtdifelfzo  10625  fzossfzop1  10640  ssfzo12bi  10653  elfzomelpfzo  10659  fzosplitprm1  10663  fzostep1  10666  infssuzex  10676  flid  10732  flqbi2  10739  2tnp1ge0ge0  10749  flhalf  10750  fldiv4p1lem1div2  10753  fldiv4lem1div2uz2  10754  ceiqle  10763  uzsinds  10894  zsqcl2  11067  ssenneg  11294  ccatsymb  11384  ccatval21sw  11387  lswccatn0lsw  11393  swrd0g  11446  swrdswrdlem  11490  swrdswrd  11491  swrdccatin2  11515  pfxccatin12lem2  11517  pfxccatin12lem3  11518  nn0abscl  11866  zmaxcl  12005  2zsupmax  12007  zmincl  12020  2zinfmin  12025  p1modz1  12577  evennn02n  12665  evennn2n  12666  ltoddhalfle  12676  bitsp1o  12736  dfgcd2  12807  algcvga  12845  isprm3  12912  dvdsnprmd  12919  sqnprm  12931  zgcdsq  12997  hashdvds  13019  fldivp1  13147  zgz  13172  4sqlem4  13191  4sqexercise1  13197  mulgval  13974  coskpi  15999  relogexp  16024  rplogbzexp  16109  ppiprm  16170  zabsle1  16216  lgsne0  16255  gausslemma2dlem1a  16275  gausslemma2dlem3  16280  gausslemma2dlem4  16281  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  2lgslem1a1  16303  2lgslem1a2  16304  2sqlem2  16332  clwwlkext2edg  16761