Theorem uztrn 9558

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	|- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9547	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9551	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
5		eluzle 9554	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ K )
7		eluzle 9554	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ M )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K <_ M )
9		eluzelz 9551	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> K e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. ZZ )
11		zletr 9316	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
12	2, 10, 4, 11	syl3anc 1248	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
13	6, 8, 12	mp2and 433	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ M )
14		eluz2 9548	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N <_ M ) )
15	2, 4, 13, 14	syl3anbrc 1182	1 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228   <_ cle 8007   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltwlin 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-neg 8145  df-z 9268  df-uz 9543

This theorem is referenced by:  uztrn2  9559  fzsplit2  10064  fzass4  10076  fzss1  10077  fzss2  10078  uzsplit  10106  seq3fveq2  10483  ser3mono  10492  seq3split  10493  seq3f1olemqsumkj  10512  seq3f1olemqsumk  10513  seq3id  10522  seq3id2  10523  seq3z  10525  seq3coll  10836  cvgratgt0  11555  mertenslemi1  11557  zproddc  11601  dvdsfac  11880