Theorem uztrn 9954

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	|- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9941	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9946	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
5		eluzle 9949	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ K )
7		eluzle 9949	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ M )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K <_ M )
9		eluzelz 9946	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> K e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. ZZ )
11		zletr 9703	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
12	2, 10, 4, 11	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
13	6, 8, 12	mp2and 437	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ M )
14		eluz2 9942	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N <_ M ) )
15	2, 4, 13, 14	syl3anbrc 1212	1 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   <_ cle 8367   ZZcz 9653   ZZ>=cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltwlin 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  uztrn2  9955  fzsplit2  10471  fzsplit3  10474  fzass4  10484  fzss1  10485  fzss2  10486  uzsplit  10515  seq3fveq2  10932  seqfveq2g  10934  ser3mono  10944  seq3split  10945  seqsplitg  10946  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsumk  10969  seq3id  10982  seq3id2  10983  seq3z  10985  seq3coll  11315  cvgratgt0  12324  mertenslemi1  12326  zproddc  12370  dvdsfac  12651  ballotfilemsima  13316  ballotfilemfrc  13327  bposlem6  16333