Theorem uztrn 9948

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	|- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9935	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9940	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
5		eluzle 9943	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ K )
7		eluzle 9943	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ M )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K <_ M )
9		eluzelz 9940	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> K e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. ZZ )
11		zletr 9698	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
12	2, 10, 4, 11	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
13	6, 8, 12	mp2and 437	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ M )
14		eluz2 9936	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N <_ M ) )
15	2, 4, 13, 14	syl3anbrc 1212	1 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   <_ cle 8361   ZZcz 9648   ZZ>=cuz 9930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931

This theorem is used by:  uztrn2  9949  fzsplit2  10465  fzsplit3  10468  fzass4  10478  fzss1  10479  fzss2  10480  uzsplit  10509  seq3fveq2  10925  seqfveq2g  10927  ser3mono  10937  seq3split  10938  seqsplitg  10939  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsumk  10962  seq3id  10975  seq3id2  10976  seq3z  10978  seq3coll  11308  cvgratgt0  12316  mertenslemi1  12318  zproddc  12362  dvdsfac  12643  ballotfilemsima  13308  ballotfilemfrc  13319