Theorem uztrn 9834

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	|- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9821	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 9826	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
5		eluzle 9829	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ K )
7		eluzle 9829	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ M )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K <_ M )
9		eluzelz 9826	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> K e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. ZZ )
11		zletr 9590	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
12	2, 10, 4, 11	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
13	6, 8, 12	mp2and 433	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ M )
14		eluz2 9822	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N <_ M ) )
15	2, 4, 13, 14	syl3anbrc 1208	1 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltwlin 8205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  uztrn2  9835  fzsplit2  10347  fzass4  10359  fzss1  10360  fzss2  10361  uzsplit  10389  seq3fveq2  10800  seqfveq2g  10802  ser3mono  10812  seq3split  10813  seqsplitg  10814  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsumk  10837  seq3id  10850  seq3id2  10851  seq3z  10853  seq3coll  11169  cvgratgt0  12174  mertenslemi1  12176  zproddc  12220  dvdsfac  12501  gsumfzz  13658