ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uztrn Unicode version

Theorem uztrn 9291
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9280 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 273 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzelz 9284 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 272 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ZZ )
5 eluzle 9287 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
65adantl 273 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  K )
7 eluzle 9287 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  M )
87adantr 272 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  <_  M )
9 eluzelz 9284 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  K  e.  ZZ )
109adantl 273 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  e.  ZZ )
11 zletr 9054 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
122, 10, 4, 11syl3anc 1199 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M ) )
136, 8, 12mp2and 427 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  M )
14 eluz2 9281 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  <_  M ) )
152, 4, 13, 14syl3anbrc 1148 1  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091    <_ cle 7765   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltwlin 7697
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-neg 7900  df-z 9006  df-uz 9276
This theorem is referenced by:  uztrn2  9292  fzsplit2  9770  fzass4  9782  fzss1  9783  fzss2  9784  uzsplit  9812  seq3fveq2  10182  ser3mono  10191  seq3split  10192  seq3f1olemqsumkj  10211  seq3f1olemqsumk  10212  seq3id  10221  seq3id2  10222  seq3z  10224  seq3coll  10525  cvgratgt0  11242  mertenslemi1  11244  dvdsfac  11454
  Copyright terms: Public domain W3C validator