Theorem elfz0ubfz0 10321

Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential nonnegative integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0ubfz0	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ L e. ( K ... N ) ) -> K e. ( 0 ... L ) )

Proof of Theorem elfz0ubfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10308	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
2		elfz2 10211	. . . . . 6 |- ( L e. ( K ... N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) )
3		simpr1 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> K e. NN0 )
4		elnn0z 9459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. ZZ )
6		0z 9457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. ZZ
7		zletr 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 e. ZZ /\ K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> 0 <_ L ) )
8	6, 7	mp3an1 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> 0 <_ L ) )
9		elnn0z 9459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( L e. NN0 <-> ( L e. ZZ /\ 0 <_ L ) )
10	9	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L e. ZZ -> ( 0 <_ L -> L e. NN0 ) )
11	5, 8, 10	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> L e. NN0 ) )
12	11	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ K -> ( K <_ L -> L e. NN0 ) ) )
13	12	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) -> ( L e. ZZ -> ( K <_ L -> L e. NN0 ) ) )
14	4, 13	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN0 -> ( L e. ZZ -> ( K <_ L -> L e. NN0 ) ) )
15	14	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K <_ L -> ( L e. ZZ -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K <_ L /\ L <_ N ) -> ( L e. ZZ -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) )
17	16	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ N ) -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) )
18	17	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ N ) -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) )
20	19	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) -> L e. NN0 ) )
21	20	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) -> L e. NN0 ) )
22	21	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> L e. NN0 )
23		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> K <_ L )
24	3, 22, 23	3jca 1201	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) )
25	24	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) )
26	2, 25	sylbi 121	. . . . 5 |- ( L e. ( K ... N ) -> ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) )
27	26	com12 30	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( L e. ( K ... N ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) )
28	1, 27	sylbi 121	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( L e. ( K ... N ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) )
29	28	imp 124	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ L e. ( K ... N ) ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) )
30		elfz2nn0 10308	. 2 |- ( K e. ( 0 ... L ) <-> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) )
31	29, 30	sylibr 134	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ L e. ( K ... N ) ) -> K e. ( 0 ... L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   0cc0 7999   <_ cle 8182   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  swrdswrd  11237