ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz0ubfz0 Unicode version

Theorem elfz0ubfz0 10024
Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential nonnegative integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0ubfz0  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... L ) )

Proof of Theorem elfz0ubfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10014 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
2 elfz2 9919 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( K ... N )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) ) )
3 simpr1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  K  e.  NN0 )
4 elnn0z 9180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  ZZ )
6 0z 9178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  ZZ
7 zletr 9216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  L )  ->  0  <_  L
) )
86, 7mp3an1 1306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  0  <_  L ) )
9 elnn0z 9180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  <_  L ) )
109simplbi2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <_  L  ->  L  e.  NN0 ) )
115, 8, 10sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  L  e.  NN0 ) )
1211expd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 )
) )
1312impancom 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 )
) )
144, 13sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1514com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  <_  L  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1615adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  N )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 )
) )
1716com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
18173ad2ant3 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1918imp 123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 ) )
2019com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 ) )
21203ad2ant1 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 ) )
2221impcom 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 )
23 simplrl 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <_  L
)
243, 22, 233jca 1162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  ( K  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  K  <_  L
) )
2524ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
262, 25sylbi 120 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( K ... N )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  -> 
( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
2726com12 30 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ( L  e.  ( K ... N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
281, 27sylbi 120 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( L  e.  ( K ... N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
2928imp 123 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  -> 
( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) )
30 elfz2nn0 10014 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... L )  <->  ( K  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  K  <_  L ) )
3129, 30sylibr 133 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   0cc0 7732    <_ cle 7913   NN0cn0 9090   ZZcz 9167   ...cfz 9912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator