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Theorem elfz0ubfz0 9532
Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential nonnegative integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0ubfz0  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... L ) )

Proof of Theorem elfz0ubfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9522 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
2 elfz2 9429 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( K ... N )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) ) )
3 simpr1 949 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  K  e.  NN0 )
4 elnn0z 8761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
5 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  ZZ )
6 0z 8759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  ZZ
7 zletr 8797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  L )  ->  0  <_  L
) )
86, 7mp3an1 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  0  <_  L ) )
9 elnn0z 8761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  <_  L ) )
109simplbi2 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <_  L  ->  L  e.  NN0 ) )
115, 8, 10sylsyld 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  L  e.  NN0 ) )
1211expd 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 )
) )
1312impancom 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 )
) )
144, 13sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1514com13 79 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  <_  L  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1615adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  N )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 )
) )
1716com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
18173ad2ant3 966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1918imp 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 ) )
2019com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 ) )
21203ad2ant1 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 ) )
2221impcom 123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 )
23 simplrl 502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <_  L
)
243, 22, 233jca 1123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  ( K  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  K  <_  L
) )
2524ex 113 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
262, 25sylbi 119 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( K ... N )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  -> 
( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
2726com12 30 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ( L  e.  ( K ... N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
281, 27sylbi 119 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( L  e.  ( K ... N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
2928imp 122 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  -> 
( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) )
30 elfz2nn0 9522 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... L )  <->  ( K  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  K  <_  L ) )
3129, 30sylibr 132 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   0cc0 7348    <_ cle 7521   NN0cn0 8671   ZZcz 8748   ...cfz 9422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423
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