Theorem 2ralbidv 2574

Description: Formula-building rule for restricted universal quantifiers (deduction form). (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (Revised by Szymon Jaroszewicz, 16-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
2ralbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
2ralbidv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥, 𝑦)   𝜒(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem 2ralbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ralbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ralbidv 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))
3	2	ralbidv 2550	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-4 1563  ax-17 1579

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533

This theorem is used by:  cbvral3v  2801  poeq1  4444  soeq1  4460  isoeq1  6007  isoeq2  6008  isoeq3  6009  fnmpoovd  6451  smoeq  6561  xpf1o  7144  papeq1  7610  papcotr  7614  tapeq1  7619  elinp  7842  cauappcvgpr  8030  seq3caopr2  10945  seqcaopr2g  10946  wrd2ind  11511  addcn2  12095  mulcn2  12097  sgrp1  13779  ismhm  13821  mhmex  13822  issubm  13832  isnsg  14058  nmznsg  14069  isghm  14099  iscmn  14180  ring1  14448  opprsubrngg  14603  issubrg3  14639  islmod  14711  lmodlema  14712  lsssetm  14777  islssmd  14780  islidlm  14900  ispsmet  15515  ismet  15536  isxmet  15537  addcncntoplem  15753  elcncf  15765  mpodvdsmulf1o  16245