Theorem 2ralbidv 2568

Description: Formula-building rule for restricted universal quantifiers (deduction form). (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (Revised by Szymon Jaroszewicz, 16-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
2ralbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
2ralbidv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2ralbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ralbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ralbidv 2544	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))
3	2	ralbidv 2544	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wral 2522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-4 1559  ax-17 1575

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-ral 2527

This theorem is referenced by:  cbvral3v  2795  poeq1  4425  soeq1  4441  isoeq1  5980  isoeq2  5981  isoeq3  5982  fnmpoovd  6424  smoeq  6534  xpf1o  7110  papeq1  7573  papcotr  7577  tapeq1  7582  elinp  7805  cauappcvgpr  7993  seq3caopr2  10879  seqcaopr2g  10880  wrd2ind  11440  addcn2  12020  mulcn2  12022  sgrp1  13674  ismhm  13716  mhmex  13717  issubm  13727  isnsg  13955  nmznsg  13966  isghm  13996  iscmn  14046  ring1  14302  opprsubrngg  14457  issubrg3  14493  islmod  14565  lmodlema  14566  lsssetm  14630  islssmd  14633  islidlm  14753  ispsmet  15314  ismet  15335  isxmet  15336  addcncntoplem  15552  elcncf  15564  mpodvdsmulf1o  15984