Theorem 2ralbidv 2574

Description: Formula-building rule for restricted universal quantifiers (deduction form). (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (Revised by Szymon Jaroszewicz, 16-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
2ralbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
2ralbidv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥, 𝑦)   𝜒(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem 2ralbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ralbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ralbidv 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))
3	2	ralbidv 2550	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-4 1563  ax-17 1579

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533

This theorem is used by:  cbvral3v  2801  poeq1  4446  soeq1  4462  isoeq1  6010  isoeq2  6011  isoeq3  6012  fnmpoovd  6455  smoeq  6566  xpf1o  7150  papeq1  7615  papcotr  7619  tapeq1  7624  elinp  7847  cauappcvgpr  8035  seq3caopr2  10950  seqcaopr2g  10951  wrd2ind  11516  addcn2  12100  mulcn2  12102  sgrp1  13784  ismhm  13826  mhmex  13827  issubm  13837  isnsg  14063  nmznsg  14074  isghm  14104  iscmn  14185  ring1  14470  opprsubrngg  14627  issubrg3  14663  islmod  14735  lmodlema  14736  lsssetm  14801  islssmd  14804  islidlm  14924  ispsmet  15566  ismet  15587  isxmet  15588  addcncntoplem  15804  elcncf  15816  mpodvdsmulf1o  16301