ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxmet GIF version

Theorem isxmet 13139
Description: Express the predicate "𝐷 is an extended metric". (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet (𝑋𝐴 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isxmet
Dummy variables 𝑑 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2741 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ∈ V)
2 fnmap 6633 . . . . . . . 8 𝑚 Fn (V × V)
3 xrex 9813 . . . . . . . 8 * ∈ V
4 sqxpexg 4727 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
5 fnovex 5886 . . . . . . . 8 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℝ* ∈ V ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∈ V)
62, 3, 4, 5mp3an12i 1336 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∈ V)
7 rabexg 4132 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∈ V → {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))} ∈ V)
86, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))} ∈ V)
9 xpeq12 4630 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 = 𝑋𝑡 = 𝑋) → (𝑡 × 𝑡) = (𝑋 × 𝑋))
109anidms 395 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑋 → (𝑡 × 𝑡) = (𝑋 × 𝑋))
1110oveq2d 5869 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑋 → (ℝ*𝑚 (𝑡 × 𝑡)) = (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)))
12 raleq 2665 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑋 → (∀𝑧𝑡 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))))
1312anbi2d 461 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑋 → ((((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑡 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))))
1413raleqbi1dv 2673 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑋 → (∀𝑦𝑡 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑡 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))))
1514raleqbi1dv 2673 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑋 → (∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑡 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))))
1611, 15rabeqbidv 2725 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑋 → {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑡 × 𝑡)) ∣ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑡 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))} = {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
17 df-xmet 12782 . . . . . . 7 ∞Met = (𝑡 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑡 × 𝑡)) ∣ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑡 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
1816, 17fvmptg 5572 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))} ∈ V) → (∞Met‘𝑋) = {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
198, 18mpdan 419 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (∞Met‘𝑋) = {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
201, 19syl 14 . . . 4 (𝑋𝐴 → (∞Met‘𝑋) = {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
2120eleq2d 2240 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))}))
22 oveq 5859 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (𝑥𝑑𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
2322eqeq1d 2179 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
2423bibi1d 232 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦)))
25 oveq 5859 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → (𝑧𝑑𝑥) = (𝑧𝐷𝑥))
26 oveq 5859 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → (𝑧𝑑𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
2725, 26oveq12d 5871 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
2822, 27breq12d 4002 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
2928ralbidv 2470 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)) ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
3024, 29anbi12d 470 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → ((((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
31302ralbidv 2494 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦))) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
3231elrab 2886 . . 3 (𝐷 ∈ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∣ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))} ↔ (𝐷 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
3321, 32bitrdi 195 . 2 (𝑋𝐴 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
34 sqxpexg 4727 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
35 elmapg 6639 . . . 4 ((ℝ* ∈ V ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → (𝐷 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*))
363, 34, 35sylancr 412 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝐷 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*))
3736anbi1d 462 . 2 (𝑋𝐴 → ((𝐷 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
3833, 37bitrd 187 1 (𝑋𝐴 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  {crab 2452  Vcvv 2730   class class class wbr 3989   × cxp 4609   Fn wfn 5193  wf 5194  cfv 5198  (class class class)co 5853  𝑚 cmap 6626  0cc0 7774  *cxr 7953  cle 7955   +𝑒 cxad 9727  ∞Metcxmet 12774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-xmet 12782
This theorem is referenced by:  isxmetd  13141  xmetf  13144  ismet2  13148  xmeteq0  13153  xmettri2  13155
  Copyright terms: Public domain W3C validator