mulcn2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem mulcn2 12080

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴 𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧 𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

**Proof of Theorem mulcn2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 10084	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
2	1	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
3		abscl 11819	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant3 1051	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
5		abscl 11819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7		1re 8325	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		readdcl 8305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
10		absge0 11828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
11		0lt1 8453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
12		addgegt0 8777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (abs‘𝐵) ∧ 0 < 1)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
13	12	an4s 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
14	7, 11, 13	mpanr12 443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
15	5, 10, 14	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
16	15	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
17	9, 16	elrpd 10096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ⁺)
18	2, 17	rpdivcld 10117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ⁺)
19	18	rpred 10099	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
20	4, 19	readdcld 8355	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ)
21		absge0 11828	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐶))
22	21	3ad2ant3 1051	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
23		elrp 10058	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ⁺ ↔ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
24		addgegt0 8777	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
25	24	an4s 596	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)) ∧ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
26	23, 25	sylan2b 287	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)) ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ⁺) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
27	4, 22, 18, 26	syl21anc 1277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
28	20, 27	elrpd 10096	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ⁺)
29	2, 28	rpdivcld 10117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ⁺)
30		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
31		simpl2 1032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	30, 31	subcld 8637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	abscld 11949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢 − 𝐵)) ∈ ℝ)
34	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 10099	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
36	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ⁺)
37	33, 35, 36	ltmuldivd 10147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
38		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
39		simpl3 1033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
40	38, 39	abs2difd 11965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
41	38	abscld 11949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝑣) ∈ ℝ)
42	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
43	41, 42	resubcld 8708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
44	38, 39	subcld 8637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ)
45	44	abscld 11949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ)
46	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
47		lelttr 8414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
49	40, 48	mpand 433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
50	41, 42, 46	ltsubadd2d 8871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ↔ (abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
51	49, 50	sylibd 149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
52	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ)
53		ltle 8413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ) → ((abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
54	41, 52, 53	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
55	51, 54	syld 45	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
56	32	absge0d 11952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑢 − 𝐵)))
57		lemul2a 9190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑢 − 𝐵)))) ∧ (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑢 − 𝐵)))) → ((abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
59	41, 52, 33, 56, 58	syl112anc 1282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
60	33, 41	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ∈ ℝ)
61	33, 52	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ)
62		lelttr 8414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
63	60, 61, 35, 62	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
64	63	expd 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
65	55, 59, 64	3syld 57	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
66	65	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
67	37, 66	sylbird 170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
68	67	impd 254	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
69	32, 38	absmuld 11962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢 − 𝐵) · 𝑣)) = ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)))
70	30, 31, 38	subdird 8742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑢 − 𝐵) · 𝑣) = ((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣)))
71	70	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢 − 𝐵) · 𝑣)) = (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))))
72	69, 71	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) = (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))))
73	72	breq1d 4140	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2)))
74	68, 73	sylibd 149	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2)))
75	17	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ⁺)
76	45, 35, 75	ltmuldiv2d 10148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
77	31, 38, 39	subdid 8741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · (𝑣 − 𝐶)) = ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶)))
78	77	fveq2d 5699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐵 · (𝑣 − 𝐶))) = (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))))
79	31, 44	absmuld 11962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐵 · (𝑣 − 𝐶))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
80	78, 79	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
81	31	abscld 11949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
82	81	lep1d 9262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1))
83	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
84		abscl 11819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ → (abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ)
85		absge0 11828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
86	84, 85	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
87		lemul1a 9189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)))) ∧ (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
88	87	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣 − 𝐶)))) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶)))))
89	86, 88	syl3an3 1313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑣 − 𝐶) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶)))))
90	81, 83, 44, 89	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶)))))
91	82, 90	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
92	80, 91	eqbrtrd 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))))
93	31, 38	mulcld 8346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ)
94	31, 39	mulcld 8346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
95	93, 94	subcld 8637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
96	95	abscld 11949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
97	83, 45	remulcld 8356	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ∈ ℝ)
98		lelttr 8414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
99	96, 97, 35, 98	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
100	92, 99	mpand 433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣 − 𝐶))) < (𝐴 / 2) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
101	76, 100	sylbird 170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
102	101	adantld 278	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
103	74, 102	jcad 307	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2))))
104		mulcl 8306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
105	104	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
106		simpl1 1031	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
107	106	rpred 10099	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108		abs3lem 11879	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
109	105, 94, 93, 107, 108	syl22anc 1279	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
110	103, 109	syld 45	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
111	110	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
112		breq2 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
113	112	anbi1d 469	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
114	113	imbi1d 231	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
115	114	2ralbidv 2574	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
116		breq2 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
117	116	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
118	117	imbi1d 231	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
119	118	2ralbidv 2574	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
120	115, 119	rspc2ev 2945	. 2 ⊢ ((((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
121	29, 18, 111, 120	syl3anc 1278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 104 ∧ w3a 1009 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ∀wral 2528 ∃wrex 2529 class class class wbr 4130 ‘cfv 5377 (class class class)co 6085 ℂcc 8177 ℝcr 8178 0cc0 8179 1c1 8180 + caddc 8182 · cmul 8184 < clt 8360 ≤ cle 8361 − cmin 8497 / cdiv 9003 2c2 9356 ℝ⁺crp 10056 abscabs 11765

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8904 df-ap 8911 df-div 9004 df-inn 9306 df-2 9364 df-3 9365 df-4 9366 df-n0 9566 df-z 9647 df-uz 9924 df-rp 10057 df-seqfrec 10887 df-exp 10978 df-cj 11609 df-re 11610 df-im 11611 df-rsqrt 11766 df-abs 11767

This theorem is used by: climmul 12095 mulcncntop 15667 mpomulcn 15669 mulc1cncf 15692 mulcncf 15711

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