Theorem issubrg3 13743

Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubrg3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issubrg3	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Proof of Theorem issubrg3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	issubrg2 13737	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
5		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
6	4, 5	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
7	1	subgss 13244	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
8		issubrg3.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8	ringmgp 13498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
10		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
11		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
12		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
13	10, 11, 12	issubm 13044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
14	9, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
15	8, 1	mgpbasg 13422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
16	15	sseq2d 3209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)))
17	8, 2	ringidvalg 13457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀))
18	17	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆))
19	8, 3	mgpplusgg 13420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
20	19	oveqd 5935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
21	20	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
22	21	2ralbidv 2518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
23	16, 18, 22	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
24	14, 23	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
25		3anass 984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
26	24, 25	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
27	26	baibd 924	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
28	7, 27	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
29	28	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
30	6, 29	bitr4d 191	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3153  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  0_gc0g 12867  Mndcmnd 12997  SubMndcsubmnd 13030  SubGrpcsubg 13237  mulGrpcmgp 13416  1_rcur 13455  Ringcrg 13492  SubRingcsubrg 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-submnd 13032  df-subg 13240  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-subrg 13715

This theorem is referenced by:  rhmeql  13746  rhmima  13747