Theorem issubrg3 13306

Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubrg3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issubrg3	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Proof of Theorem issubrg3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	issubrg2 13300	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
5		3anass 982	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
6	4, 5	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
7	1	subgss 12965	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
8		issubrg3.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8	ringmgp 13116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
10		eqid 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
11		eqid 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
12		eqid 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
13	10, 11, 12	issubm 12795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
14	9, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
15	8, 1	mgpbasg 13067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
16	15	sseq2d 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)))
17	8, 2	ringidvalg 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀))
18	17	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆))
19	8, 3	mgpplusgg 13065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
20	19	oveqd 5889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
21	20	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
22	21	2ralbidv 2501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
23	16, 18, 22	3anbi123d 1312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
24	14, 23	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
25		3anass 982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
26	24, 25	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
27	26	baibd 923	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
28	7, 27	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
29	28	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
30	6, 29	bitr4d 191	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ⊆ wss 3129  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +_gcplusg 12528  ._rcmulr 12529  0_gc0g 12693  Mndcmnd 12749  SubMndcsubmnd 12782  SubGrpcsubg 12958  mulGrpcmgp 13061  1_rcur 13073  Ringcrg 13110  SubRingcsubrg 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-submnd 12784  df-subg 12961  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-ring 13112  df-subrg 13278

This theorem is referenced by: (None)