ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  issubrg3 GIF version

Theorem issubrg3 13306
Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubrg3.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
issubrg3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))))

Proof of Theorem issubrg3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2177 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3 eqid 2177 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
41, 2, 3issubrg2 13300 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆)))
5 3anass 982 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆)))
64, 5bitrdi 196 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆))))
71subgss 12965 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
8 issubrg3.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
98ringmgp 13116 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
10 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
11 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
12 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
1310, 11, 12issubm 12795 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
149, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
158, 1mgpbasg 13067 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘€))
1615sseq2d 3185 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
178, 2ringidvalg 13075 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘€))
1817eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ↔ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆))
198, 3mgpplusgg 13065 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€))
2019oveqd 5889 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
2120eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
22212ralbidv 2501 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
2316, 18, 223anbi123d 1312 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
2414, 23bitr4d 191 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆)))
25 3anass 982 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆)))
2624, 25bitrdi 196 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆))))
2726baibd 923 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆)))
287, 27sylan2 286 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆)))
2928pm5.32da 452 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑆))))
306, 29bitr4d 191 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3129  β€˜cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +gcplusg 12528  .rcmulr 12529  0gc0g 12693  Mndcmnd 12749  SubMndcsubmnd 12782  SubGrpcsubg 12958  mulGrpcmgp 13061  1rcur 13073  Ringcrg 13110  SubRingcsubrg 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-submnd 12784  df-subg 12961  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-ring 13112  df-subrg 13278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator