Theorem issubrg3 14260

Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubrg3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issubrg3	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Proof of Theorem issubrg3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	issubrg2 14254	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
5		3anass 1008	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
6	4, 5	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
7	1	subgss 13760	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
8		issubrg3.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8	ringmgp 14014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
10		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
11		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
12		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
13	10, 11, 12	issubm 13554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
14	9, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
15	8, 1	mgpbasg 13938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
16	15	sseq2d 3257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)))
17	8, 2	ringidvalg 13973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀))
18	17	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆))
19	8, 3	mgpplusgg 13936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀))
20	19	oveqd 6034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
21	20	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
22	21	2ralbidv 2556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
23	16, 18, 22	3anbi123d 1348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
24	14, 23	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
25		3anass 1008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
26	24, 25	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
27	26	baibd 930	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
28	7, 27	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
29	28	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
30	6, 29	bitr4d 191	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  ._rcmulr 13160  0_gc0g 13338  Mndcmnd 13498  SubMndcsubmnd 13540  SubGrpcsubg 13753  mulGrpcmgp 13932  1_rcur 13971  Ringcrg 14008  SubRingcsubrg 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-submnd 13542  df-subg 13756  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-subrg 14232

This theorem is referenced by:  rhmeql  14263  rhmima  14264