ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcncntoplem GIF version

Theorem addcncntoplem 14322
Description: Lemma for addcncntop 14323, subcncntop 14324, and mulcncntop 14325. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
addcn.2 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
addcn.3 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
addcncntoplem + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧,𝐽   + ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcncntoplem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
2 addcn.3 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž))
323coml 1211 . . . 4 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž))
4 rpmincl 11259 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
54adantl 277 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
6 simpll1 1037 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
7 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
8 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
98cnmetdval 14300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑒)))
10 abssub 11123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)))
119, 10eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)))
126, 7, 11syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)))
1312breq1d 4025 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )))
147, 6subcld 8281 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑏) ∈ β„‚)
1514abscld 11203 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) ∈ ℝ)
16 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
1716rpred 9709 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
18 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
1918rpred 9709 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
20 ltmininf 11256 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑧)))
2115, 17, 19, 20syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑧)))
2213, 21bitrd 188 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑧)))
23 simpl 109 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦)
2422, 23biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦))
25 simpll2 1038 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
26 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
278cnmetdval 14300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) = (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑣)))
28 abssub 11123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑣)) = (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)))
2927, 28eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) = (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)))
3025, 26, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) = (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)))
3130breq1d 4025 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )))
3226, 25subcld 8281 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑐) ∈ β„‚)
3332abscld 11203 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) ∈ ℝ)
34 ltmininf 11256 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)))
3533, 17, 19, 34syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)))
3631, 35bitrd 188 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)))
37 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)
3836, 37biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧))
3924, 38anim12d 335 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)))
401fovcl 5993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ (𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚)
416, 25, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚)
421fovcl 5993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚)
4342adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚)
448cnmetdval 14300 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) = (absβ€˜((𝑏 + 𝑐) βˆ’ (𝑒 + 𝑣))))
45 abssub 11123 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑏 + 𝑐) βˆ’ (𝑒 + 𝑣))) = (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))))
4644, 45eqtrd 2220 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) = (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))))
4741, 43, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) = (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))))
4847breq1d 4025 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž ↔ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž))
4948biimprd 158 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž))
5039, 49imim12d 74 . . . . . . 7 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž) β†’ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
5150ralimdvva 2556 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
52 breq2 4019 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) β†’ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ↔ (𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )))
53 breq2 4019 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) β†’ ((𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )))
5452, 53anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) β†’ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) ↔ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ))))
5554imbi1d 231 . . . . . . . 8 (π‘₯ = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) β†’ ((((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž) ↔ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
56552ralbidv 2511 . . . . . . 7 (π‘₯ = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž) ↔ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
5756rspcev 2853 . . . . . 6 ((inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž))
585, 51, 57syl6an 1444 . . . . 5 (((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
5958rexlimdvva 2612 . . . 4 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
603, 59mpd 13 . . 3 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž))
6160rgen3 2574 . 2 βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)
62 cnxmet 14302 . . 3 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
63 addcncntop.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
6463, 63, 63txmetcn 14290 . . 3 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) β†’ ( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž))))
6562, 62, 62, 64mp3an 1347 . 2 ( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
661, 61, 65mpbir2an 943 1 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466  {cpr 3605   class class class wbr 4015   Γ— cxp 4636   ∘ ccom 4642  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  infcinf 6995  β„‚cc 7822  β„cr 7823   < clt 8005   βˆ’ cmin 8141  β„+crp 9666  abscabs 11019  βˆžMetcxmet 13697  MetOpencmopn 13702   Cn ccn 13956   Γ—t ctx 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-topgen 12726  df-psmet 13704  df-xmet 13705  df-met 13706  df-bl 13707  df-mopn 13708  df-top 13769  df-topon 13782  df-bases 13814  df-cn 13959  df-cnp 13960  df-tx 14024
This theorem is referenced by:  addcncntop  14323  subcncntop  14324  mulcncntop  14325
  Copyright terms: Public domain W3C validator