Theorem addcncntoplem 14454

Description: Lemma for addcncntop 14455, subcncntop 14456, and mulcncntop 14457. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
addcn.2	⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
addcn.3	⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
addcncntoplem	⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧,𝐽   + ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcncntoplem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcn.2	. 2 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		addcn.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
3	2	3coml 1212	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
4		rpmincl 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
6		simpll1 1038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
7		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
8		eqid 2189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 14432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑏 − 𝑢)))
10		abssub 11129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑏 − 𝑢)) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
11	9, 10	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
12	6, 7, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
13	12	breq1d 4028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )))
14	7, 6	subcld 8287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝑏) ∈ ℂ)
15	14	abscld 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ)
16		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 9715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 9715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
20		ltmininf 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
22	13, 21	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
23		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦)
24	22, 23	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦))
25		simpll2 1039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑐 ∈ ℂ)
26		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
27	8	cnmetdval 14432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑐 − 𝑣)))
28		abssub 11129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑐 − 𝑣)) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
29	27, 28	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
30	25, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
31	30	breq1d 4028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )))
32	26, 25	subcld 8287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣 − 𝑐) ∈ ℂ)
33	32	abscld 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ)
34		ltmininf 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
35	33, 17, 19, 34	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
36	31, 35	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
37		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)
38	36, 37	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧))
39	24, 38	anim12d 335	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
40	1	fovcl 5997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
41	6, 25, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
42	1	fovcl 5997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
44	8	cnmetdval 14432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))))
45		abssub 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
46	44, 45	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
47	41, 43, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
48	47	breq1d 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
49	48	biimprd 158	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎 → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
50	39, 49	imim12d 74	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
51	50	ralimdvva 2559	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
52		breq2 4022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ↔ (𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )))
53		breq2 4022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )))
54	52, 53	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) ↔ ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ))))
55	54	imbi1d 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) → ((((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
56	55	2ralbidv 2514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
57	56	rspcev 2856	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < ) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < inf({𝑦, 𝑧}, ℝ, < )) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
58	5, 51, 57	syl6an 1445	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
59	58	rexlimdvva 2615	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
60	3, 59	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
61	60	rgen3 2577	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)
62		cnxmet 14434	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63		addcncntop.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
64	63, 63, 63	txmetcn 14422	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))))
65	62, 62, 62, 64	mp3an 1348	. 2 ⊢ ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
66	1, 61, 65	mpbir2an 944	1 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469  {cpr 3608   class class class wbr 4018   × cxp 4639   ∘ ccom 4645  ⟶wf 5227  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  infcinf 7001  ℂcc 7828  ℝcr 7829   < clt 8011   − cmin 8147  ℝ⁺crp 9672  abscabs 11025  ∞Metcxmet 13816  MetOpencmopn 13821   Cn ccn 14088   ×_t ctx 14155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-map 6668  df-sup 7002  df-inf 7003  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-xneg 9791  df-xadd 9792  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-topgen 12737  df-psmet 13823  df-xmet 13824  df-met 13825  df-bl 13826  df-mopn 13827  df-top 13901  df-topon 13914  df-bases 13946  df-cn 14091  df-cnp 14092  df-tx 14156

This theorem is referenced by:  addcncntop  14455  subcncntop  14456  mulcncntop  14457