Theorem divalglemqt 12543

Description: Lemma for divalg 12548. The 𝑄 = 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
divalglemqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemqt.qt	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
divalglemqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemqt	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Proof of Theorem divalglemqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemqt.qt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
2	1	oveq1d 6043	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) = (𝑇 · 𝐷))
3		divalglemqt.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
4		divalglemqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9647	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
8		divalglemqt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9647	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
10		divalglemqt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9647	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
12	2	oveq1d 6043	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅))
13		divalglemqt.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
14	12, 13	eqtr3d 2266	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
15	7, 9, 11, 14	addcanad 8407	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073   + caddc 8078   · cmul 8080  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  12545  divalglemeuneg  12547