Theorem divalglemqt 11878

Description: Lemma for divalg 11883. The 𝑄 = 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
divalglemqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemqt.qt	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
divalglemqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemqt	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Proof of Theorem divalglemqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemqt.qt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
2	1	oveq1d 5868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) = (𝑇 · 𝐷))
3		divalglemqt.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
4		divalglemqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrrd 2248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
8		divalglemqt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9335	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
10		divalglemqt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9335	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
12	2	oveq1d 5868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅))
13		divalglemqt.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
14	12, 13	eqtr3d 2205	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
15	7, 9, 11, 14	addcanad 8105	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   + caddc 7777   · cmul 7779  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11880  divalglemeuneg  11882