Theorem divalglemqt 11411

Description: Lemma for divalg 11416. The 𝑄 = 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
divalglemqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemqt.qt	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
divalglemqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemqt	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Proof of Theorem divalglemqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemqt.qt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
2	1	oveq1d 5721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) = (𝑇 · 𝐷))
3		divalglemqt.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
4		divalglemqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrrd 2177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
8		divalglemqt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9026	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
10		divalglemqt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9026	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
12	2	oveq1d 5721	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅))
13		divalglemqt.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
14	12, 13	eqtr3d 2134	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
15	7, 9, 11, 14	addcanad 7819	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  (class class class)co 5706  ℂcc 7498   + caddc 7503   · cmul 7505  ℤcz 8906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11413  divalglemeuneg  11415