![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divalglemqt | GIF version |
Description: Lemma for divalg 11942. The ๐ = ๐ case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
divalglemqt.d | โข (๐ โ ๐ท โ โค) |
divalglemqt.r | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
divalglemqt.s | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
divalglemqt.q | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
divalglemqt.t | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
divalglemqt.qt | โข (๐ โ ๐ = ๐) |
divalglemqt.eq | โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ท) + ๐ ) = ((๐ ยท ๐ท) + ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
divalglemqt | โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divalglemqt.qt | . . . 4 โข (๐ โ ๐ = ๐) | |
2 | 1 | oveq1d 5903 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ท) = (๐ ยท ๐ท)) |
3 | divalglemqt.q | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
4 | divalglemqt.d | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โค) | |
5 | 3, 4 | zmulcld 9394 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ท) โ โค) |
6 | 5 | zcnd 9389 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ท) โ โ) |
7 | 2, 6 | eqeltrrd 2265 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ท) โ โ) |
8 | divalglemqt.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
9 | 8 | zcnd 9389 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
10 | divalglemqt.s | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
11 | 10 | zcnd 9389 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
12 | 2 | oveq1d 5903 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ท) + ๐ ) = ((๐ ยท ๐ท) + ๐ )) |
13 | divalglemqt.eq | . . 3 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ท) + ๐ ) = ((๐ ยท ๐ท) + ๐)) | |
14 | 12, 13 | eqtr3d 2222 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ท) + ๐ ) = ((๐ ยท ๐ท) + ๐)) |
15 | 7, 9, 11, 14 | addcanad 8156 | 1 โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1363 โ wcel 2158 (class class class)co 5888 โcc 7822 + caddc 7827 ยท cmul 7829 โคcz 9266 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-setind 4548 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-cnre 7935 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-br 4016 df-opab 4077 df-id 4305 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-sub 8143 df-neg 8144 df-inn 8933 df-n0 9190 df-z 9267 |
This theorem is referenced by: divalglemeunn 11939 divalglemeuneg 11941 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |