ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemqt GIF version

Theorem divalglemqt 11943
Description: Lemma for divalg 11948. The ๐‘„ = ๐‘‡ case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglemqt.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.qt (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ๐‘‡)
divalglemqt.eq (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
divalglemqt (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ๐‘†)

Proof of Theorem divalglemqt
StepHypRef Expression
1 divalglemqt.qt . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ๐‘‡)
21oveq1d 5906 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท ๐ท) = (๐‘‡ ยท ๐ท))
3 divalglemqt.q . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
4 divalglemqt.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
53, 4zmulcld 9400 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
65zcnd 9395 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
72, 6eqeltrrd 2267 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
8 divalglemqt.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
98zcnd 9395 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
10 divalglemqt.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
1110zcnd 9395 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
122oveq1d 5906 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘…))
13 divalglemqt.eq . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
1412, 13eqtr3d 2224 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
157, 9, 11, 14addcanad 8162 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ๐‘†)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828   + caddc 7833   ยท cmul 7835  โ„คcz 9272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273
This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11945  divalglemeuneg  11947
  Copyright terms: Public domain W3C validator