Theorem divalglemqt 12711

Description: Lemma for divalg 12716. The 𝑄 = 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
divalglemqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemqt.qt	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
divalglemqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemqt	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Proof of Theorem divalglemqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemqt.qt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
2	1	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) = (𝑇 · 𝐷))
3		divalglemqt.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
4		divalglemqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrrd 2316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
8		divalglemqt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
10		divalglemqt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
12	2	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅))
13		divalglemqt.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
14	12, 13	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
15	7, 9, 11, 14	addcanad 8519	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8183   + caddc 8188   · cmul 8190  ℤcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  divalglemeunn  12713  divalglemeuneg  12715