ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemqt GIF version

Theorem divalglemqt 11937
Description: Lemma for divalg 11942. The ๐‘„ = ๐‘‡ case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglemqt.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„ค)
divalglemqt.qt (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ๐‘‡)
divalglemqt.eq (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
divalglemqt (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ๐‘†)

Proof of Theorem divalglemqt
StepHypRef Expression
1 divalglemqt.qt . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ๐‘‡)
21oveq1d 5903 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท ๐ท) = (๐‘‡ ยท ๐ท))
3 divalglemqt.q . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
4 divalglemqt.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
53, 4zmulcld 9394 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
65zcnd 9389 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
72, 6eqeltrrd 2265 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
8 divalglemqt.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
98zcnd 9389 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
10 divalglemqt.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
1110zcnd 9389 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
122oveq1d 5903 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘…))
13 divalglemqt.eq . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
1412, 13eqtr3d 2222 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
157, 9, 11, 14addcanad 8156 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ๐‘†)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822   + caddc 7827   ยท cmul 7829  โ„คcz 9266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267
This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11939  divalglemeuneg  11941
  Copyright terms: Public domain W3C validator