![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divalglemqt | GIF version |
Description: Lemma for divalg 11948. The ๐ = ๐ case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
divalglemqt.d | โข (๐ โ ๐ท โ โค) |
divalglemqt.r | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
divalglemqt.s | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
divalglemqt.q | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
divalglemqt.t | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
divalglemqt.qt | โข (๐ โ ๐ = ๐) |
divalglemqt.eq | โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ท) + ๐ ) = ((๐ ยท ๐ท) + ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
divalglemqt | โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divalglemqt.qt | . . . 4 โข (๐ โ ๐ = ๐) | |
2 | 1 | oveq1d 5906 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ท) = (๐ ยท ๐ท)) |
3 | divalglemqt.q | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
4 | divalglemqt.d | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โค) | |
5 | 3, 4 | zmulcld 9400 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ท) โ โค) |
6 | 5 | zcnd 9395 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ท) โ โ) |
7 | 2, 6 | eqeltrrd 2267 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ท) โ โ) |
8 | divalglemqt.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
9 | 8 | zcnd 9395 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
10 | divalglemqt.s | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
11 | 10 | zcnd 9395 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
12 | 2 | oveq1d 5906 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ท) + ๐ ) = ((๐ ยท ๐ท) + ๐ )) |
13 | divalglemqt.eq | . . 3 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ท) + ๐ ) = ((๐ ยท ๐ท) + ๐)) | |
14 | 12, 13 | eqtr3d 2224 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ท) + ๐ ) = ((๐ ยท ๐ท) + ๐)) |
15 | 7, 9, 11, 14 | addcanad 8162 | 1 โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1364 โ wcel 2160 (class class class)co 5891 โcc 7828 + caddc 7833 ยท cmul 7835 โคcz 9272 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-setind 4551 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-mulrcl 7929 ax-addcom 7930 ax-mulcom 7931 ax-addass 7932 ax-mulass 7933 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-1rid 7937 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-cnre 7941 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-br 4019 df-opab 4080 df-id 4308 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-sub 8149 df-neg 8150 df-inn 8939 df-n0 9196 df-z 9273 |
This theorem is referenced by: divalglemeunn 11945 divalglemeuneg 11947 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |