Theorem brcogw 4605

Description: Ordered pair membership in a composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brcogw	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑍) ∧ (𝐴𝐷𝑋 ∧ 𝑋𝐶𝐵)) → 𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵)

Proof of Theorem brcogw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 946	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑍) ∧ (𝐴𝐷𝑋 ∧ 𝑋𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simpl2 947	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑍) ∧ (𝐴𝐷𝑋 ∧ 𝑋𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		breq2 3849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴𝐷𝑥 ↔ 𝐴𝐷𝑋))
4		breq1 3848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝐵 ↔ 𝑋𝐶𝐵))
5	3, 4	anbi12d 457	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝑋 ∧ 𝑋𝐶𝐵)))
6	5	spcegv 2707	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑍 → ((𝐴𝐷𝑋 ∧ 𝑋𝐶𝐵) → ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵)))
7	6	imp 122	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑍 ∧ (𝐴𝐷𝑋 ∧ 𝑋𝐶𝐵)) → ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))
8	7	3ad2antl3 1107	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑍) ∧ (𝐴𝐷𝑋 ∧ 𝑋𝐶𝐵)) → ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))
9		brcog 4603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵)))
10	9	biimpar 291	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵)) → 𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵)
11	1, 2, 8, 10	syl21anc 1173	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑍) ∧ (𝐴𝐷𝑋 ∧ 𝑋𝐶𝐵)) → 𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 924   = wceq 1289  ∃wex 1426   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3845   ∘ ccom 4442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-co 4447

This theorem is referenced by: (None)