Theorem spcegv 2913

Description: Existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
spcgv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
spcegv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem spcegv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		spcgv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	spcegf 2908	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is used by:  spcedv  2914  spcev  2920  elabd  2971  eqeu  2996  absneu  3783  elunii  3940  axpweq  4308  euotd  4395  brcogw  4949  opeldmg  4986  breldmg  4987  dmsnopg  5259  dff3im  5853  elunirn  5972  unielxp  6408  op1steq  6413  tfr0dm  6593  tfrlemibxssdm  6598  tfrlemiex  6602  tfr1onlembxssdm  6614  tfr1onlemex  6618  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllemex  6631  frecabcl  6670  ertr  6822  f1oen4g  7038  f1dom4g  7039  f1oen3g  7040  f1dom2g  7042  f1domg  7044  dom3d  7060  en1  7086  en2  7112  phpelm  7168  isinfinf  7201  ordiso  7377  djudom  7434  difinfsn  7441  ctm  7450  enumct  7456  djudoml  7576  djudomr  7577  cc2lem  7633  recexnq  7758  ltexprlemrl  7978  ltexprlemru  7980  recexprlemm  7992  recexprlemloc  7999  recexprlem1ssl  8001  recexprlem1ssu  8002  axpre-suploclemres  8269  frecuzrdgtcl  10864  frecuzrdgfunlem  10871  fihasheqf1oi  11242  zfz1isolem1  11308  climeu  12081  fsum3  12173  uzwodc  12833  gzsumfzval  13764  mplsubgfilemm  15180  eltg3  15249  uptx  15466  xblm  15609  2lgslem1  16376  upgrex  16510  vtxdumgrfival  16705  1loopgrvd2fi  16712  bj-2inf  17130  subctctexmid  17196