Theorem spcegv 2891

Description: Existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
spcgv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
spcegv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem spcegv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		spcgv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	spcegf 2886	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801

This theorem is referenced by:  spcedv  2892  spcev  2898  elabd  2948  eqeu  2973  absneu  3738  elunii  3893  axpweq  4255  euotd  4341  brcogw  4891  opeldmg  4928  breldmg  4929  dmsnopg  5200  dff3im  5782  elunirn  5896  unielxp  6326  op1steq  6331  tfr0dm  6474  tfrlemibxssdm  6479  tfrlemiex  6483  tfr1onlembxssdm  6495  tfr1onlemex  6499  tfrcllembxssdm  6508  tfrcllemex  6512  frecabcl  6551  ertr  6703  f1oen4g  6911  f1dom4g  6912  f1oen3g  6913  f1dom2g  6915  f1domg  6917  dom3d  6933  en1  6959  en2  6981  phpelm  7036  isinfinf  7067  ordiso  7214  djudom  7271  difinfsn  7278  ctm  7287  enumct  7293  djudoml  7412  djudomr  7413  cc2lem  7463  recexnq  7588  ltexprlemrl  7808  ltexprlemru  7810  recexprlemm  7822  recexprlemloc  7829  recexprlem1ssl  7831  recexprlem1ssu  7832  axpre-suploclemres  8099  frecuzrdgtcl  10646  frecuzrdgfunlem  10653  fihasheqf1oi  11021  zfz1isolem1  11075  climeu  11823  fsum3  11914  uzwodc  12574  gsumfzval  13440  mplsubgfilemm  14678  eltg3  14747  uptx  14964  xblm  15107  2lgslem1  15786  upgrex  15919  vtxdumgrfival  16058  bj-2inf  16384  subctctexmid  16453