Theorem spcegv 2895

Description: Existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
spcgv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
spcegv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem spcegv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2375	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		spcgv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	spcegf 2890	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805

This theorem is referenced by:  spcedv  2896  spcev  2902  elabd  2952  eqeu  2977  absneu  3747  elunii  3903  axpweq  4267  euotd  4353  brcogw  4905  opeldmg  4942  breldmg  4943  dmsnopg  5215  dff3im  5800  elunirn  5917  unielxp  6346  op1steq  6351  tfr0dm  6531  tfrlemibxssdm  6536  tfrlemiex  6540  tfr1onlembxssdm  6552  tfr1onlemex  6556  tfrcllembxssdm  6565  tfrcllemex  6569  frecabcl  6608  ertr  6760  f1oen4g  6968  f1dom4g  6969  f1oen3g  6970  f1dom2g  6972  f1domg  6974  dom3d  6990  en1  7016  en2  7041  phpelm  7096  isinfinf  7129  ordiso  7295  djudom  7352  difinfsn  7359  ctm  7368  enumct  7374  djudoml  7494  djudomr  7495  cc2lem  7545  recexnq  7670  ltexprlemrl  7890  ltexprlemru  7892  recexprlemm  7904  recexprlemloc  7911  recexprlem1ssl  7913  recexprlem1ssu  7914  axpre-suploclemres  8181  frecuzrdgtcl  10737  frecuzrdgfunlem  10744  fihasheqf1oi  11112  zfz1isolem1  11167  climeu  11936  fsum3  12028  uzwodc  12688  gsumfzval  13554  mplsubgfilemm  14799  eltg3  14868  uptx  15085  xblm  15228  2lgslem1  15910  upgrex  16044  vtxdumgrfival  16239  1loopgrvd2fi  16246  bj-2inf  16654  subctctexmid  16722