Theorem spcegv 2797

Description: Existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
spcgv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
spcegv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem spcegv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2296	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1505	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		spcgv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	spcegf 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 2125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-v 2711

This theorem is referenced by:  spcedv  2798  spcev  2804  elabd  2853  eqeu  2878  absneu  3627  elunii  3773  axpweq  4127  euotd  4209  brcogw  4748  opeldmg  4784  breldmg  4785  dmsnopg  5050  dff3im  5605  elunirn  5707  unielxp  6112  op1steq  6117  tfr0dm  6259  tfrlemibxssdm  6264  tfrlemiex  6268  tfr1onlembxssdm  6280  tfr1onlemex  6284  tfrcllembxssdm  6293  tfrcllemex  6297  frecabcl  6336  ertr  6484  f1oen3g  6688  f1dom2g  6690  f1domg  6692  dom3d  6708  en1  6733  phpelm  6800  isinfinf  6831  ordiso  6966  djudom  7023  difinfsn  7030  ctm  7039  enumct  7045  djudoml  7133  djudomr  7134  cc2lem  7165  recexnq  7289  ltexprlemrl  7509  ltexprlemru  7511  recexprlemm  7523  recexprlemloc  7530  recexprlem1ssl  7532  recexprlem1ssu  7533  axpre-suploclemres  7800  frecuzrdgtcl  10289  frecuzrdgfunlem  10296  fihasheqf1oi  10639  zfz1isolem1  10688  climeu  11170  fsum3  11261  eltg3  12396  uptx  12613  xblm  12756  bj-2inf  13451  subctctexmid  13512