Theorem ordom 4655

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4654	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
2	1	gen2 1473	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
3		dftr2 4144	. . 3 ⊢ (Tr ω ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω))
4	2, 3	mpbir 146	. 2 ⊢ Tr ω
5		treq 4148	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Tr 𝑦 ↔ Tr ∅))
6		treq 4148	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝑥))
7		treq 4148	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr suc 𝑥))
8		tr0 4153	. . . 4 ⊢ Tr ∅
9		suctr 4468	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥))
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4648	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
12	11	rgen 2559	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
13		dford3 4414	. 2 ⊢ (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
14	4, 12, 13	mpbir2an 945	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1371   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∅c0 3460  Tr wtr 4142  Ord word 4409  suc csuc 4412  ωcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4143  df-iord 4413  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  omelon2  4656  limom  4662  freccllem  6488  frecfcllem  6490  frecsuclem  6492  fict  6965  infnfi  6992  isinfinf  6994  hashinfuni  10922  hashinfom  10923  hashennn  10925  ennnfonelemrn  12790  ctinf  12801