Theorem ordom 4639

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4638	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
2	1	gen2 1461	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
3		dftr2 4129	. . 3 ⊢ (Tr ω ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω))
4	2, 3	mpbir 146	. 2 ⊢ Tr ω
5		treq 4133	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Tr 𝑦 ↔ Tr ∅))
6		treq 4133	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝑥))
7		treq 4133	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr suc 𝑥))
8		tr0 4138	. . . 4 ⊢ Tr ∅
9		suctr 4452	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥))
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4632	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
12	11	rgen 2547	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
13		dford3 4398	. 2 ⊢ (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
14	4, 12, 13	mpbir2an 944	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1362   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∅c0 3446  Tr wtr 4127  Ord word 4393  suc csuc 4396  ωcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-tr 4128  df-iord 4397  df-suc 4402  df-iom 4623

This theorem is referenced by:  omelon2  4640  limom  4646  freccllem  6455  frecfcllem  6457  frecsuclem  6459  fict  6924  infnfi  6951  isinfinf  6953  hashinfuni  10848  hashinfom  10849  hashennn  10851  ennnfonelemrn  12576  ctinf  12587