ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordom GIF version

Theorem ordom 4520
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordom Ord ω

Proof of Theorem ordom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4519 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
21gen2 1426 . . 3 𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
3 dftr2 4028 . . 3 (Tr ω ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω))
42, 3mpbir 145 . 2 Tr ω
5 treq 4032 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (Tr 𝑦 ↔ Tr ∅))
6 treq 4032 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝑥))
7 treq 4032 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr suc 𝑥))
8 tr0 4037 . . . 4 Tr ∅
9 suctr 4343 . . . . 5 (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥)
109a1i 9 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥))
115, 6, 7, 6, 8, 10finds 4514 . . 3 (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
1211rgen 2485 . 2 𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
13 dford3 4289 . 2 (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
144, 12, 13mpbir2an 926 1 Ord ω
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wal 1329  wcel 1480  wral 2416  c0 3363  Tr wtr 4026  Ord word 4284  suc csuc 4287  ωcom 4504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-suc 4293  df-iom 4505
This theorem is referenced by:  omelon2  4521  limom  4527  freccllem  6299  frecfcllem  6301  frecsuclem  6303  fict  6762  infnfi  6789  isinfinf  6791  hashinfuni  10535  hashinfom  10536  hashennn  10538  ennnfonelemrn  11943  ctinf  11954
  Copyright terms: Public domain W3C validator