ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordom GIF version

Theorem ordom 4394
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordom Ord ω

Proof of Theorem ordom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4393 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
21gen2 1382 . . 3 𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
3 dftr2 3913 . . 3 (Tr ω ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω))
42, 3mpbir 144 . 2 Tr ω
5 treq 3917 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (Tr 𝑦 ↔ Tr ∅))
6 treq 3917 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝑥))
7 treq 3917 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr suc 𝑥))
8 tr0 3922 . . . 4 Tr ∅
9 suctr 4222 . . . . 5 (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥)
109a1i 9 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥))
115, 6, 7, 6, 8, 10finds 4388 . . 3 (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
1211rgen 2424 . 2 𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
13 dford3 4168 . 2 (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
144, 12, 13mpbir2an 886 1 Ord ω
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wal 1285  wcel 1436  wral 2355  c0 3275  Tr wtr 3911  Ord word 4163  suc csuc 4166  ωcom 4378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-uni 3637  df-int 3672  df-tr 3912  df-iord 4167  df-suc 4172  df-iom 4379
This theorem is referenced by:  omelon2  4395  limom  4401  freccllem  6121  frecfcllem  6123  frecsuclem  6125  fict  6536  infnfi  6563  isinfinf  6565  hashinfuni  10081  hashinfom  10082  hashennn  10084
  Copyright terms: Public domain W3C validator