Theorem ordom 4705

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4704	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
2	1	gen2 1498	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
3		dftr2 4189	. . 3 ⊢ (Tr ω ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω))
4	2, 3	mpbir 146	. 2 ⊢ Tr ω
5		treq 4193	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Tr 𝑦 ↔ Tr ∅))
6		treq 4193	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝑥))
7		treq 4193	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr suc 𝑥))
8		tr0 4198	. . . 4 ⊢ Tr ∅
9		suctr 4518	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥))
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4698	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
12	11	rgen 2585	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
13		dford3 4464	. 2 ⊢ (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
14	4, 12, 13	mpbir2an 950	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1395   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∅c0 3494  Tr wtr 4187  Ord word 4459  suc csuc 4462  ωcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  omelon2  4706  limom  4712  freccllem  6567  frecfcllem  6569  frecsuclem  6571  fict  7054  infnfi  7083  isinfinf  7085  hashinfuni  11038  hashinfom  11039  hashennn  11041  ennnfonelemrn  13039  ctinf  13050