Theorem ordom 4584

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4583	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
2	1	gen2 1438	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
3		dftr2 4082	. . 3 ⊢ (Tr ω ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω))
4	2, 3	mpbir 145	. 2 ⊢ Tr ω
5		treq 4086	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Tr 𝑦 ↔ Tr ∅))
6		treq 4086	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝑥))
7		treq 4086	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑥 → (Tr 𝑦 ↔ Tr suc 𝑥))
8		tr0 4091	. . . 4 ⊢ Tr ∅
9		suctr 4399	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (Tr 𝑥 → Tr suc 𝑥))
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4577	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
12	11	rgen 2519	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥
13		dford3 4345	. 2 ⊢ (Ord ω ↔ (Tr ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω Tr 𝑥))
14	4, 12, 13	mpbir2an 932	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1341   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∅c0 3409  Tr wtr 4080  Ord word 4340  suc csuc 4343  ωcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  omelon2  4585  limom  4591  freccllem  6370  frecfcllem  6372  frecsuclem  6374  fict  6834  infnfi  6861  isinfinf  6863  hashinfuni  10690  hashinfom  10691  hashennn  10693  ennnfonelemrn  12352  ctinf  12363