Theorem incom 3351

Description: Commutative law for intersection of classes. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
incom	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Proof of Theorem incom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 3342	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		elin 3342	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 212	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
5	4	eqriv 2190	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3159

This theorem is referenced by:  ineq2  3354  dfss1  3363  in12  3370  in32  3371  in13  3372  in31  3373  inss2  3380  sslin  3385  inss  3389  indif1  3404  indifcom  3405  indir  3408  symdif1  3424  dfrab2  3434  0in  3482  disjr  3496  ssdifin0  3528  difdifdirss  3531  uneqdifeqim  3532  diftpsn3  3759  iunin1  3977  iinin1m  3982  riinm  3985  rintm  4005  inex2  4164  onintexmid  4605  resiun1  4961  dmres  4963  rescom  4967  resima2  4976  xpssres  4977  resindm  4984  resdmdfsn  4985  resopab  4986  imadisj  5027  ndmima  5042  intirr  5052  djudisj  5093  imainrect  5111  dmresv  5124  resdmres  5157  funimaexg  5338  fnresdisj  5364  fnimaeq0  5375  resasplitss  5433  f0rn0  5448  fvun2  5624  ressnop0  5739  fvsnun1  5755  fsnunfv  5759  offres  6187  smores3  6346  phplem2  6909  unfiin  6982  xpfi  6986  endjusym  7155  djucomen  7276  fzpreddisj  10137  fseq1p1m1  10160  hashunlem  10875  zfz1isolem1  10911  fprodsplit  11740  znnen  12555  setsfun  12653  setsfun0  12654  setsslid  12669  ressressg  12693  restin  14344  metreslem  14548  bdinex2  15392