Theorem incom 3396

Description: Commutative law for intersection of classes. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
incom	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Proof of Theorem incom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 3387	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		elin 3387	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 212	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
5	4	eqriv 2226	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203

This theorem is referenced by:  ineq2  3399  dfss1  3408  in12  3415  in32  3416  in13  3417  in31  3418  inss2  3425  sslin  3430  inss  3434  indif1  3449  indifcom  3450  indir  3453  symdif1  3469  dfrab2  3479  0in  3527  disjr  3541  ssdifin0  3573  difdifdirss  3576  uneqdifeqim  3577  diftpsn3  3808  iunin1  4029  iinin1m  4034  riinm  4037  rintm  4057  inex2  4218  onintexmid  4664  resiun1  5023  dmres  5025  rescom  5029  resima2  5038  xpssres  5039  resindm  5046  resdmdfsn  5047  resopab  5048  imadisj  5089  ndmima  5104  intirr  5114  djudisj  5155  imainrect  5173  dmresv  5186  resdmres  5219  funimaexg  5404  fnresdisj  5432  fnimaeq0  5444  resasplitss  5504  f0rn0  5519  fvun2  5700  ressnop0  5819  fvsnun1  5835  fsnunfv  5839  offres  6278  smores3  6437  phplem2  7010  unfiin  7084  xpfi  7090  endjusym  7259  djucomen  7394  fzpreddisj  10263  fseq1p1m1  10286  hashunlem  11021  zfz1isolem1  11057  fprodsplit  12103  znnen  12964  setsfun  13062  setsfun0  13063  setsslid  13078  ressressg  13103  restin  14844  metreslem  15048  perfectlem2  15668  bdinex2  16221