Theorem incom 3411

Description: Commutative law for intersection of classes. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
incom	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Proof of Theorem incom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 3402	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		elin 3402	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 212	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
5	4	eqriv 2229	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∩ cin 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217

This theorem is referenced by:  ineqcom  3412  ineqcomi  3413  ineq2  3416  dfss1  3425  in12  3432  in32  3433  in13  3434  in31  3435  inss2  3442  sslin  3447  inss  3451  indif1  3466  indifcom  3467  indir  3470  symdif1  3486  dfrab2  3496  0in  3544  disjr  3558  ssdifin0  3591  difdifdirss  3594  uneqdifeqim  3595  diftpsn3  3835  iunin1  4056  iinin1m  4061  riinm  4064  rintm  4084  inex2  4245  onintexmid  4695  resiun1  5057  dmres  5059  rescom  5063  resima2  5072  xpssres  5073  resindm  5080  resdmdfsn  5081  resopab  5082  imadisj  5124  ndmima  5139  intirr  5149  djudisj  5190  imainrect  5208  dmresv  5221  resdmres  5254  funimaexg  5440  fnresdisj  5468  fnimaeq0  5480  resasplitss  5544  fresaunres1disj  5546  f0rn0  5562  fvun2  5744  ressnop0  5865  fvsnun1  5881  fsnunfv  5885  offres  6328  smores3  6524  phplem2  7107  unfiin  7186  xpfi  7192  endjusym  7387  djucomen  7523  fzpreddisj  10405  fseq1p1m1  10428  hashunlem  11168  hashfibclem  11206  zfz1isolem1  11212  fprodsplit  12283  znnen  13149  setsfun  13247  setsfun0  13248  setsslid  13263  ressressg  13288  restin  15041  metreslem  15245  perfectlem2  15868  bdinex2  16670  gfsump1  16868