Theorem incom 3415

Description: Commutative law for intersection of classes. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
incom	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Proof of Theorem incom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 3406	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		elin 3406	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 212	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
5	4	eqriv 2231	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∩ cin 3213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3220

This theorem is referenced by:  ineqcom  3416  ineqcomi  3417  ineq2  3420  dfss1  3429  in12  3436  in32  3437  in13  3438  in31  3439  inss2  3446  sslin  3451  inss  3455  indif1  3470  indifcom  3471  indir  3474  symdif1  3490  dfrab2  3500  0in  3548  disjr  3562  ssdifin0  3595  difdifdirss  3598  uneqdifeqim  3599  diftpsn3  3840  iunin1  4061  iinin1m  4066  riinm  4069  rintm  4089  inex2  4250  onintexmid  4700  resiun1  5062  dmres  5064  rescom  5068  resima2  5077  xpssres  5078  resindm  5085  resdmdfsn  5086  resopab  5087  imadisj  5129  ndmima  5144  intirr  5154  djudisj  5195  imainrect  5213  dmresv  5226  resdmres  5259  funimaexg  5445  fnresdisj  5473  fnimaeq0  5485  resasplitss  5549  fresaunres1disj  5551  f0rn0  5567  fvun2  5749  ressnop0  5870  fvsnun1  5886  fsnunfv  5890  offres  6341  smores3  6537  phplem2  7120  unfiin  7199  xpfi  7205  endjusym  7400  djucomen  7536  fzpreddisj  10427  fseq1p1m1  10450  hashunlem  11193  hashfibclem  11231  zfz1isolem1  11237  fprodsplit  12308  ballotfilemfval0  13179  znnen  13233  setsfun  13331  setsfun0  13332  setsslid  13347  ressressg  13372  gfsump1  14108  restin  15167  metreslem  15371  perfectlem2  15994  bdinex2  16796