Theorem incom 3355

Description: Commutative law for intersection of classes. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
incom	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Proof of Theorem incom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 3346	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		elin 3346	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 212	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
5	4	eqriv 2193	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∩ cin 3156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163

This theorem is referenced by:  ineq2  3358  dfss1  3367  in12  3374  in32  3375  in13  3376  in31  3377  inss2  3384  sslin  3389  inss  3393  indif1  3408  indifcom  3409  indir  3412  symdif1  3428  dfrab2  3438  0in  3486  disjr  3500  ssdifin0  3532  difdifdirss  3535  uneqdifeqim  3536  diftpsn3  3763  iunin1  3981  iinin1m  3986  riinm  3989  rintm  4009  inex2  4168  onintexmid  4609  resiun1  4965  dmres  4967  rescom  4971  resima2  4980  xpssres  4981  resindm  4988  resdmdfsn  4989  resopab  4990  imadisj  5031  ndmima  5046  intirr  5056  djudisj  5097  imainrect  5115  dmresv  5128  resdmres  5161  funimaexg  5342  fnresdisj  5368  fnimaeq0  5379  resasplitss  5437  f0rn0  5452  fvun2  5628  ressnop0  5743  fvsnun1  5759  fsnunfv  5763  offres  6192  smores3  6351  phplem2  6914  unfiin  6987  xpfi  6993  endjusym  7162  djucomen  7283  fzpreddisj  10146  fseq1p1m1  10169  hashunlem  10896  zfz1isolem1  10932  fprodsplit  11762  znnen  12615  setsfun  12713  setsfun0  12714  setsslid  12729  ressressg  12753  restin  14412  metreslem  14616  perfectlem2  15236  bdinex2  15546