Theorem eldifn 3352

Description: Implication of membership in a class difference. (Contributed by NM, 3-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldifn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem eldifn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  elndif  3353  unssin  3470  inssun  3471  noel  3525  disjel  3579  undifexmid  4332  exmidundif  4345  exmidundifim  4346  exmid1stab  4347  phpm  7173  undifdcss  7236  ind0  9310  hashf1lem1  11306  fsum3cvg  12169  summodclem2a  12172  fisumss  12183  isumss2  12184  binomlem  12274  fproddccvg  12363  prodmodclem2a  12367  fprodssdc  12381  fprodsplitdc  12387  gsum2dfi  14272  psrlidmfi  15208  ply1termlem  15985  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plycoeid3  16000  dvply1  16008  wexmiddiffilem  17265  wexmiddifxylem  17267