ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss2 GIF version

Theorem isumss2 11102
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set 𝐴 and the added zeroes compose the rest of the containing set 𝐵 which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isumss2.ss (𝜑𝐴𝐵)
isumss2.adc (𝜑 → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
isumss2.c (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
isumss2.b (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
Assertion
Ref Expression
isumss2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐵,𝑘   𝑗,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem isumss2
Dummy variables 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumss2.ss . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
21adantr 272 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝐴𝐵)
3 isumss2.c . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4 iftrue 3447 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
54adantl 273 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6 nfcsb1v 3003 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
76nfel1 2267 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
8 csbeq1a 2981 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
98eleq1d 2184 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
107, 9rspc 2755 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1110impcom 124 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
125, 11eqeltrd 2192 . . . . . 6 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
133, 12sylan 279 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
1413adantlr 466 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
15 eldifn 3167 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
1615iffalsed 3452 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
1716adantl 273 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
18 isumss2.adc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
1918adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
20 eleq1w 2176 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐴𝑎𝐴))
2120dcbid 806 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑎𝐴))
2221cbvralv 2629 . . . . . . . . 9 (∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑎𝐵 DECID 𝑎𝐴)
2319, 22sylib 121 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎𝐵 DECID 𝑎𝐴)
2423r19.21bi 2495 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
2524adantlr 466 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
262adantr 272 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
2726ssneld 3067 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑎𝐵 → ¬ 𝑎𝐴))
2827imp 123 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → ¬ 𝑎𝐴)
2928olcd 706 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → (𝑎𝐴 ∨ ¬ 𝑎𝐴))
30 df-dc 803 . . . . . . 7 (DECID 𝑎𝐴 ↔ (𝑎𝐴 ∨ ¬ 𝑎𝐴))
3129, 30sylibr 133 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
32 eleq1w 2176 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐵𝑎𝐵))
3332dcbid 806 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑎𝐵))
34 simplr3 1008 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
35 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
3633, 34, 35rspcdva 2766 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑎𝐵)
37 exmiddc 804 . . . . . . 7 (DECID 𝑎𝐵 → (𝑎𝐵 ∨ ¬ 𝑎𝐵))
3836, 37syl 14 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑎𝐵 ∨ ¬ 𝑎𝐵))
3925, 31, 38mpjaodan 770 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑎𝐴)
4039ralrimiva 2480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
41 simpr1 970 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42 simpr2 971 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
43 simpr3 972 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
4433cbvralv 2629 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐵)
4543, 44sylib 121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐵)
462, 14, 17, 40, 41, 42, 45isumss 11100 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
471adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
4813adantlr 466 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
4916adantl 273 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
5018adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
51 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
5247, 48, 49, 50, 51fisumss 11101 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
53 isumss2.b . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
5446, 52, 53mpjaodan 770 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
55 iftrue 3447 . . . 4 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
5655sumeq2i 11073 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘𝐴 𝐶
57 nfcv 2256 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)
58 nfv 1491 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
59 nfcv 2256 . . . . 5 𝑘0
6058, 6, 59nfif 3468 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
61 eleq1w 2176 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
6261, 8ifbieq1d 3462 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
6357, 60, 62cbvsumi 11071 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6456, 63eqtr3i 2138 . 2 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6557, 60, 62cbvsumi 11071 . 2 Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6654, 64, 653eqtr4g 2173 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680  DECID wdc 802  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  csb 2973  cdif 3036  wss 3039  ifcif 3442  cfv 5091  Fincfn 6600  cc 7582  0cc0 7584  cz 9005  cuz 9275  Σcsu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  fsumsplit  11116  sumsplitdc  11141  isumlessdc  11205
  Copyright terms: Public domain W3C validator