ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss2 GIF version

Theorem isumss2 11400
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set 𝐴 and the added zeroes compose the rest of the containing set 𝐵 which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isumss2.ss (𝜑𝐴𝐵)
isumss2.adc (𝜑 → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
isumss2.c (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
isumss2.b (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
Assertion
Ref Expression
isumss2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐵,𝑘   𝑗,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem isumss2
Dummy variables 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumss2.ss . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
21adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝐴𝐵)
3 isumss2.c . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4 iftrue 3539 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
54adantl 277 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
76nfel1 2330 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
8 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
98eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
107, 9rspc 2835 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1110impcom 125 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
125, 11eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
133, 12sylan 283 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
1413adantlr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
15 eldifn 3258 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
1615iffalsed 3544 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
1716adantl 277 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
18 isumss2.adc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
1918adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
20 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐴𝑎𝐴))
2120dcbid 838 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑎𝐴))
2221cbvralv 2703 . . . . . . . . 9 (∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑎𝐵 DECID 𝑎𝐴)
2319, 22sylib 122 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎𝐵 DECID 𝑎𝐴)
2423r19.21bi 2565 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
2524adantlr 477 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
262adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
2726ssneld 3157 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑎𝐵 → ¬ 𝑎𝐴))
2827imp 124 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → ¬ 𝑎𝐴)
2928olcd 734 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → (𝑎𝐴 ∨ ¬ 𝑎𝐴))
30 df-dc 835 . . . . . . 7 (DECID 𝑎𝐴 ↔ (𝑎𝐴 ∨ ¬ 𝑎𝐴))
3129, 30sylibr 134 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
32 eleq1w 2238 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐵𝑎𝐵))
3332dcbid 838 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑎𝐵))
34 simplr3 1041 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
35 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
3633, 34, 35rspcdva 2846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑎𝐵)
37 exmiddc 836 . . . . . . 7 (DECID 𝑎𝐵 → (𝑎𝐵 ∨ ¬ 𝑎𝐵))
3836, 37syl 14 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑎𝐵 ∨ ¬ 𝑎𝐵))
3925, 31, 38mpjaodan 798 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑎𝐴)
4039ralrimiva 2550 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
41 simpr1 1003 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42 simpr2 1004 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
43 simpr3 1005 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
4433cbvralv 2703 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐵)
4543, 44sylib 122 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐵)
462, 14, 17, 40, 41, 42, 45isumss 11398 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
471adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
4813adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
4916adantl 277 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
5018adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
51 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
5247, 48, 49, 50, 51fisumss 11399 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
53 isumss2.b . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
5446, 52, 53mpjaodan 798 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
55 iftrue 3539 . . . 4 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
5655sumeq2i 11371 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘𝐴 𝐶
57 nfcv 2319 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)
58 nfv 1528 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
59 nfcv 2319 . . . . 5 𝑘0
6058, 6, 59nfif 3562 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
61 eleq1w 2238 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
6261, 8ifbieq1d 3556 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
6357, 60, 62cbvsumi 11369 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6456, 63eqtr3i 2200 . 2 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6557, 60, 62cbvsumi 11369 . 2 Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6654, 64, 653eqtr4g 2235 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  csb 3057  cdif 3126  wss 3129  ifcif 3534  cfv 5216  Fincfn 6739  cc 7808  0cc0 7810  cz 9252  cuz 9527  Σcsu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  fsumsplit  11414  sumsplitdc  11439  isumlessdc  11503  sumhashdc  12344
  Copyright terms: Public domain W3C validator