Theorem isumss2 11819

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set 𝐴 and the added zeroes compose the rest of the containing set 𝐵 which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
isumss2.adc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
isumss2.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
isumss2.b	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))

Assertion

Ref	Expression
isumss2	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐵,𝑘   𝑗,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		isumss2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4		iftrue 3584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
6		nfcsb1v 3134	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
7	6	nfel1 2361	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
8		csbeq1a 3110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
9	8	eleq1d 2276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
10	7, 9	rspc 2878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
11	10	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
12	5, 11	eqeltrd 2284	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
13	3, 12	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
15		eldifn 3304	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
16	15	iffalsed 3589	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
17	16	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
20		eleq1w 2268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
21	20	dcbid 840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐴))
22	21	cbvralv 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
23	19, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
24	23	r19.21bi 2596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
25	24	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
26	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	ssneld 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (¬ 𝑎 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ 𝐴)
29	28	olcd 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
30		df-dc 837	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
32		eleq1w 2268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∈ 𝐵))
33	32	dcbid 840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐵))
34		simplr3 1044	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
35		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	33, 34, 35	rspcdva 2889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
37		exmiddc 838	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵))
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵))
39	25, 31, 38	mpjaodan 800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
40	39	ralrimiva 2581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
41		simpr1 1006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42		simpr2 1007	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
43		simpr3 1008	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
44	33	cbvralv 2742	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
45	43, 44	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
47	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
48	13	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
49	16	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
50	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
51		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
53		isumss2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
54	46, 52, 53	mpjaodan 800	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
55		iftrue 3584	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
56	55	sumeq2i 11790	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
57		nfcv 2350	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
58		nfv 1552	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
59		nfcv 2350	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
60	58, 6, 59	nfif 3608	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
61		eleq1w 2268	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
62	61, 8	ifbieq1d 3602	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
63	57, 60, 62	cbvsumi 11788	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
64	56, 63	eqtr3i 2230	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
65	57, 60, 62	cbvsumi 11788	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2265	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ⦋csb 3101   ∖ cdif 3171   ⊆ wss 3174  ifcif 3579  ‘cfv 5290  Fincfn 6850  ℂcc 7958  0cc0 7960  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683  Σcsu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11833  sumsplitdc  11858  isumlessdc  11922  sumhashdc  12785