Theorem isumss2 11194

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set 𝐴 and the added zeroes compose the rest of the containing set 𝐵 which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
isumss2.adc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
isumss2.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
isumss2.b	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))

Assertion

Ref	Expression
isumss2	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐵,𝑘   𝑗,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		isumss2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4		iftrue 3484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
6		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
7	6	nfel1 2293	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
8		csbeq1a 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
9	8	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
10	7, 9	rspc 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
11	10	impcom 124	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
12	5, 11	eqeltrd 2217	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
13	3, 12	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
15		eldifn 3204	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
16	15	iffalsed 3489	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
17	16	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
20		eleq1w 2201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
21	20	dcbid 824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐴))
22	21	cbvralv 2657	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
23	19, 22	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
24	23	r19.21bi 2523	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
25	24	adantlr 469	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
26	2	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	ssneld 3104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (¬ 𝑎 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
28	27	imp 123	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ 𝐴)
29	28	olcd 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
30		df-dc 821	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
31	29, 30	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
32		eleq1w 2201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∈ 𝐵))
33	32	dcbid 824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐵))
34		simplr3 1026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
35		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	33, 34, 35	rspcdva 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
37		exmiddc 822	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵))
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵))
39	25, 31, 38	mpjaodan 788	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
40	39	ralrimiva 2508	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
41		simpr1 988	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42		simpr2 989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
43		simpr3 990	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
44	33	cbvralv 2657	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
45	43, 44	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11192	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
47	1	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
48	13	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
49	16	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
50	18	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
51		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
53		isumss2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
54	46, 52, 53	mpjaodan 788	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
55		iftrue 3484	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
56	55	sumeq2i 11165	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
57		nfcv 2282	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
58		nfv 1509	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
59		nfcv 2282	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
60	58, 6, 59	nfif 3505	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
61		eleq1w 2201	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
62	61, 8	ifbieq1d 3499	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
63	57, 60, 62	cbvsumi 11163	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
64	56, 63	eqtr3i 2163	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
65	57, 60, 62	cbvsumi 11163	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2198	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ⦋csb 3007   ∖ cdif 3073   ⊆ wss 3076  ifcif 3479  ‘cfv 5131  Fincfn 6642  ℂcc 7642  0cc0 7644  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  Σcsu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11208  sumsplitdc  11233  isumlessdc  11297