Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss2 GIF version

Theorem isumss2 11283
 Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set 𝐴 and the added zeroes compose the rest of the containing set 𝐵 which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isumss2.ss (𝜑𝐴𝐵)
isumss2.adc (𝜑 → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
isumss2.c (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
isumss2.b (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
Assertion
Ref Expression
isumss2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐵,𝑘   𝑗,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem isumss2
Dummy variables 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumss2.ss . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
21adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝐴𝐵)
3 isumss2.c . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4 iftrue 3510 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
54adantl 275 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
76nfel1 2310 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
8 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
98eleq1d 2226 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
107, 9rspc 2810 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1110impcom 124 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
125, 11eqeltrd 2234 . . . . . 6 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
133, 12sylan 281 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
1413adantlr 469 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
15 eldifn 3230 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
1615iffalsed 3515 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
1716adantl 275 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
18 isumss2.adc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
1918adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
20 eleq1w 2218 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐴𝑎𝐴))
2120dcbid 824 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑎𝐴))
2221cbvralv 2680 . . . . . . . . 9 (∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑎𝐵 DECID 𝑎𝐴)
2319, 22sylib 121 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎𝐵 DECID 𝑎𝐴)
2423r19.21bi 2545 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
2524adantlr 469 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
262adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
2726ssneld 3130 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑎𝐵 → ¬ 𝑎𝐴))
2827imp 123 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → ¬ 𝑎𝐴)
2928olcd 724 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → (𝑎𝐴 ∨ ¬ 𝑎𝐴))
30 df-dc 821 . . . . . . 7 (DECID 𝑎𝐴 ↔ (𝑎𝐴 ∨ ¬ 𝑎𝐴))
3129, 30sylibr 133 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
32 eleq1w 2218 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐵𝑎𝐵))
3332dcbid 824 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑎𝐵))
34 simplr3 1026 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
35 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
3633, 34, 35rspcdva 2821 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑎𝐵)
37 exmiddc 822 . . . . . . 7 (DECID 𝑎𝐵 → (𝑎𝐵 ∨ ¬ 𝑎𝐵))
3836, 37syl 14 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑎𝐵 ∨ ¬ 𝑎𝐵))
3925, 31, 38mpjaodan 788 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑎𝐴)
4039ralrimiva 2530 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
41 simpr1 988 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42 simpr2 989 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
43 simpr3 990 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
4433cbvralv 2680 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐵)
4543, 44sylib 121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐵)
462, 14, 17, 40, 41, 42, 45isumss 11281 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
471adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
4813adantlr 469 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
4916adantl 275 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
5018adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
51 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
5247, 48, 49, 50, 51fisumss 11282 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
53 isumss2.b . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
5446, 52, 53mpjaodan 788 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
55 iftrue 3510 . . . 4 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
5655sumeq2i 11254 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘𝐴 𝐶
57 nfcv 2299 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)
58 nfv 1508 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
59 nfcv 2299 . . . . 5 𝑘0
6058, 6, 59nfif 3533 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
61 eleq1w 2218 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
6261, 8ifbieq1d 3527 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
6357, 60, 62cbvsumi 11252 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6456, 63eqtr3i 2180 . 2 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6557, 60, 62cbvsumi 11252 . 2 Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6654, 64, 653eqtr4g 2215 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ⦋csb 3031   ∖ cdif 3099   ⊆ wss 3102  ifcif 3505  ‘cfv 5169  Fincfn 6682  ℂcc 7724  0cc0 7726  ℤcz 9161  ℤ≥cuz 9433  Σcsu 11243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244 This theorem is referenced by:  fsumsplit  11297  sumsplitdc  11322  isumlessdc  11386
 Copyright terms: Public domain W3C validator