Theorem isumss2 11912

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set 𝐴 and the added zeroes compose the rest of the containing set 𝐵 which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
isumss2.adc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
isumss2.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
isumss2.b	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))

Assertion

Ref	Expression
isumss2	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐵,𝑘   𝑗,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		isumss2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4		iftrue 3607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
6		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
7	6	nfel1 2383	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
8		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
9	8	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
10	7, 9	rspc 2901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
11	10	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
12	5, 11	eqeltrd 2306	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
13	3, 12	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
15		eldifn 3327	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
16	15	iffalsed 3612	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
17	16	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
20		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
21	20	dcbid 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐴))
22	21	cbvralv 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
23	19, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
24	23	r19.21bi 2618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
25	24	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
26	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	ssneld 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (¬ 𝑎 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ 𝐴)
29	28	olcd 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
30		df-dc 840	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
32		eleq1w 2290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∈ 𝐵))
33	32	dcbid 843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐵))
34		simplr3 1065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
35		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	33, 34, 35	rspcdva 2912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
37		exmiddc 841	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵))
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵))
39	25, 31, 38	mpjaodan 803	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
40	39	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
41		simpr1 1027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42		simpr2 1028	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
43		simpr3 1029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
44	33	cbvralv 2765	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
45	43, 44	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
47	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
48	13	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
49	16	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
50	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
51		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
53		isumss2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
54	46, 52, 53	mpjaodan 803	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
55		iftrue 3607	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
56	55	sumeq2i 11883	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
57		nfcv 2372	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
58		nfv 1574	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
59		nfcv 2372	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
60	58, 6, 59	nfif 3631	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
61		eleq1w 2290	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
62	61, 8	ifbieq1d 3625	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
63	57, 60, 62	cbvsumi 11881	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
64	56, 63	eqtr3i 2252	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
65	57, 60, 62	cbvsumi 11881	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ⦋csb 3124   ∖ cdif 3194   ⊆ wss 3197  ifcif 3602  ‘cfv 5318  Fincfn 6895  ℂcc 8005  0cc0 8007  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  Σcsu 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11926  sumsplitdc  11951  isumlessdc  12015  sumhashdc  12878