ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss2 GIF version

Theorem isumss2 11433
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set 𝐴 and the added zeroes compose the rest of the containing set 𝐵 which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isumss2.ss (𝜑𝐴𝐵)
isumss2.adc (𝜑 → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
isumss2.c (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
isumss2.b (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
Assertion
Ref Expression
isumss2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐵,𝑘   𝑗,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem isumss2
Dummy variables 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumss2.ss . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
21adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝐴𝐵)
3 isumss2.c . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4 iftrue 3554 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
54adantl 277 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
76nfel1 2343 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
8 csbeq1a 3081 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
98eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
107, 9rspc 2850 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1110impcom 125 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
125, 11eqeltrd 2266 . . . . . 6 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
133, 12sylan 283 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
1413adantlr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
15 eldifn 3273 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
1615iffalsed 3559 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
1716adantl 277 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
18 isumss2.adc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
1918adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
20 eleq1w 2250 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐴𝑎𝐴))
2120dcbid 839 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑎𝐴))
2221cbvralv 2718 . . . . . . . . 9 (∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑎𝐵 DECID 𝑎𝐴)
2319, 22sylib 122 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎𝐵 DECID 𝑎𝐴)
2423r19.21bi 2578 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
2524adantlr 477 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
262adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
2726ssneld 3172 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑎𝐵 → ¬ 𝑎𝐴))
2827imp 124 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → ¬ 𝑎𝐴)
2928olcd 735 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → (𝑎𝐴 ∨ ¬ 𝑎𝐴))
30 df-dc 836 . . . . . . 7 (DECID 𝑎𝐴 ↔ (𝑎𝐴 ∨ ¬ 𝑎𝐴))
3129, 30sylibr 134 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑎𝐵) → DECID 𝑎𝐴)
32 eleq1w 2250 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐵𝑎𝐵))
3332dcbid 839 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑎𝐵))
34 simplr3 1043 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
35 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
3633, 34, 35rspcdva 2861 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑎𝐵)
37 exmiddc 837 . . . . . . 7 (DECID 𝑎𝐵 → (𝑎𝐵 ∨ ¬ 𝑎𝐵))
3836, 37syl 14 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑎𝐵 ∨ ¬ 𝑎𝐵))
3925, 31, 38mpjaodan 799 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑎𝐴)
4039ralrimiva 2563 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
41 simpr1 1005 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42 simpr2 1006 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
43 simpr3 1007 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
4433cbvralv 2718 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐵)
4543, 44sylib 122 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐵)
462, 14, 17, 40, 41, 42, 45isumss 11431 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
471adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
4813adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
4916adantl 277 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
5018adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑗𝐵 DECID 𝑗𝐴)
51 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
5247, 48, 49, 50, 51fisumss 11432 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
53 isumss2.b . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
5446, 52, 53mpjaodan 799 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
55 iftrue 3554 . . . 4 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
5655sumeq2i 11404 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘𝐴 𝐶
57 nfcv 2332 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)
58 nfv 1539 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
59 nfcv 2332 . . . . 5 𝑘0
6058, 6, 59nfif 3577 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
61 eleq1w 2250 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
6261, 8ifbieq1d 3571 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
6357, 60, 62cbvsumi 11402 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6456, 63eqtr3i 2212 . 2 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6557, 60, 62cbvsumi 11402 . 2 Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
6654, 64, 653eqtr4g 2247 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 709  DECID wdc 835  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  csb 3072  cdif 3141  wss 3144  ifcif 3549  cfv 5235  Fincfn 6766  cc 7839  0cc0 7841  cz 9283  cuz 9558  Σcsu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by:  fsumsplit  11447  sumsplitdc  11472  isumlessdc  11536  sumhashdc  12379
  Copyright terms: Public domain W3C validator