Theorem isumss2 11870

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set 𝐴 and the added zeroes compose the rest of the containing set 𝐵 which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
isumss2.adc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
isumss2.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
isumss2.b	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))

Assertion

Ref	Expression
isumss2	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐵,𝑘   𝑗,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		isumss2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4		iftrue 3587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
6		nfcsb1v 3137	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
7	6	nfel1 2363	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
8		csbeq1a 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
9	8	eleq1d 2278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
10	7, 9	rspc 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
11	10	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
12	5, 11	eqeltrd 2286	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
13	3, 12	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
15		eldifn 3307	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
16	15	iffalsed 3592	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
17	16	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
20		eleq1w 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
21	20	dcbid 842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐴))
22	21	cbvralv 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
23	19, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
24	23	r19.21bi 2598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
25	24	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
26	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	ssneld 3206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (¬ 𝑎 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ 𝐴)
29	28	olcd 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
30		df-dc 839	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐴))
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
32		eleq1w 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∈ 𝐵))
33	32	dcbid 842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐵))
34		simplr3 1046	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
35		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	33, 34, 35	rspcdva 2892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
37		exmiddc 840	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵))
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑎 ∈ 𝐵))
39	25, 31, 38	mpjaodan 802	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
40	39	ralrimiva 2583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
41		simpr1 1008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42		simpr2 1009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
43		simpr3 1010	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
44	33	cbvralv 2745	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
45	43, 44	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐵)
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11868	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
47	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
48	13	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
49	16	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
50	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑗 ∈ 𝐵 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
51		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11869	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
53		isumss2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
54	46, 52, 53	mpjaodan 802	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
55		iftrue 3587	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
56	55	sumeq2i 11841	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
57		nfcv 2352	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
58		nfv 1554	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
59		nfcv 2352	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
60	58, 6, 59	nfif 3611	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
61		eleq1w 2270	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
62	61, 8	ifbieq1d 3605	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
63	57, 60, 62	cbvsumi 11839	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
64	56, 63	eqtr3i 2232	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
65	57, 60, 62	cbvsumi 11839	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2267	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 712  DECID wdc 838   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ⦋csb 3104   ∖ cdif 3174   ⊆ wss 3177  ifcif 3582  ‘cfv 5294  Fincfn 6857  ℂcc 7965  0cc0 7967  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  Σcsu 11830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11884  sumsplitdc  11909  isumlessdc  11973  sumhashdc  12836