Theorem eldifi 3351

Description: Implication of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldifi	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem eldifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  difss  3355  ssddif  3465  noel  3525  phpm  7167  fidifsnen  7172  elfi2  7306  fiuni  7312  fifo  7314  ind0  9301  fzdifsuc  10488  modfzo0difsn  10832  hashf1lem1  11285  fsum3cvg  12145  summodclem2a  12148  fisumss  12159  fsumlessfi  12227  binomlem  12250  fproddccvg  12339  prodmodclem2a  12343  fprodssdc  12357  fprodeq0g  12405  fprodmodd  12408  oddprmge3  12913  oddprm  13038  nnoddn2prm  13039  nnoddn2prmb  13041  4sqlem19  13188  ballotfilemfp1  13231  ballotfilemafi  13238  ballotfilembfi  13239  ballotfilem5  13242  ballotfilemiex  13244  ballotfilemi1  13245  ballotfilemii  13246  ballotfilemscl  13247  ballotfilemsle  13248  ballotfilemic  13250  ballotfilem1c  13251  ballotfilemscr  13262  ballotfilemro  13266  ballotfilemfg  13269  ballotfilemfrc  13270  ballotfilemfrceq  13272  ballotfilemrinv0  13276  ballotfilemth  13281  grpinvnzcl  13877  ringelnzr  14494  ply1termlem  15843  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plycoeid3  15858  dvply1  15866  2irrexpqap  16080  lgslem1  16119  lgslem4  16122  lgsvalmod  16138  gausslemma2dlem0b  16169  gausslemma2dlem0c  16170  gausslemma2dlem1a  16177  gausslemma2dlem1cl  16178  gausslemma2dlem1f1o  16179  gausslemma2dlem4  16183  gausslemma2d  16188  lgsquad2  16202  m1lgs  16204  2lgsoddprm  16232  wexmiddiffilem  17043  wexmiddifxylem  17045