Theorem eldifi 3286

Description: Implication of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldifi	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem eldifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159

This theorem is referenced by:  difss  3290  ssddif  3398  noel  3455  phpm  6935  fidifsnen  6940  elfi2  7047  fiuni  7053  fifo  7055  fzdifsuc  10175  modfzo0difsn  10506  fsum3cvg  11562  summodclem2a  11565  fisumss  11576  fsumlessfi  11644  binomlem  11667  fproddccvg  11756  prodmodclem2a  11760  fprodssdc  11774  fprodeq0g  11822  fprodmodd  11825  oddprmge3  12330  oddprm  12455  nnoddn2prm  12456  nnoddn2prmb  12458  4sqlem19  12605  grpinvnzcl  13276  ringelnzr  13821  ply1termlem  15086  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plycoeid3  15101  dvply1  15109  2irrexpqap  15322  lgslem1  15349  lgslem4  15352  lgsvalmod  15368  gausslemma2dlem0b  15399  gausslemma2dlem0c  15400  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem1cl  15408  gausslemma2dlem1f1o  15409  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2d  15418  lgsquad2  15432  m1lgs  15434  2lgsoddprm  15462