Theorem eldifi 3281

Description: Implication of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldifi	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem eldifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3155

This theorem is referenced by:  difss  3285  ssddif  3393  noel  3450  phpm  6921  fidifsnen  6926  elfi2  7031  fiuni  7037  fifo  7039  fzdifsuc  10147  modfzo0difsn  10466  fsum3cvg  11521  summodclem2a  11524  fisumss  11535  fsumlessfi  11603  binomlem  11626  fproddccvg  11715  prodmodclem2a  11719  fprodssdc  11733  fprodeq0g  11781  fprodmodd  11784  oddprmge3  12273  oddprm  12397  nnoddn2prm  12398  nnoddn2prmb  12400  4sqlem19  12547  grpinvnzcl  13144  ringelnzr  13683  ply1termlem  14888  plyaddlem1  14893  plymullem1  14894  2irrexpqap  15110  lgslem1  15116  lgslem4  15119  lgsvalmod  15135  gausslemma2dlem0b  15166  gausslemma2dlem0c  15167  gausslemma2dlem1a  15174  gausslemma2dlem1cl  15175  gausslemma2dlem1f1o  15176  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2d  15185  m1lgs  15192