Theorem eldifi 3351

Description: Implication of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldifi	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem eldifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  difss  3355  ssddif  3465  noel  3525  phpm  7167  fidifsnen  7172  elfi2  7306  fiuni  7312  fifo  7314  ind0  9304  fzdifsuc  10499  modfzo0difsn  10847  hashf1lem1  11301  fsum3cvg  12164  summodclem2a  12167  fisumss  12178  fsumlessfi  12246  binomlem  12269  fproddccvg  12358  prodmodclem2a  12362  fprodssdc  12376  fprodeq0g  12424  fprodmodd  12427  oddprmge3  12933  oddprm  13061  nnoddn2prm  13062  nnoddn2prmb  13064  4sqlem19  13211  prmlem0  13243  ballotfilemfp1  13283  ballotfilemafi  13290  ballotfilembfi  13291  ballotfilem5  13294  ballotfilemiex  13296  ballotfilemi1  13297  ballotfilemii  13298  ballotfilemscl  13299  ballotfilemsle  13300  ballotfilemic  13302  ballotfilem1c  13303  ballotfilemscr  13314  ballotfilemro  13318  ballotfilemfg  13321  ballotfilemfrc  13322  ballotfilemfrceq  13324  ballotfilemrinv0  13328  ballotfilemth  13333  grpinvnzcl  13930  ringelnzr  14578  ply1termlem  15934  plyaddlem1  15939  plymullem1  15940  plycoeid3  15949  dvply1  15957  2irrexpqap  16175  lgslem1  16285  lgslem4  16288  lgsvalmod  16304  gausslemma2dlem0b  16335  gausslemma2dlem0c  16336  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem1cl  16344  gausslemma2dlem1f1o  16345  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2d  16354  lgsquad2  16368  m1lgs  16370  2lgsoddprm  16398  wexmiddiffilem  17209  wexmiddifxylem  17211