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Theorem binomlem 11245
 Description: Lemma for binom 11246 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
binomlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
binomlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
binomlem.4 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Assertion
Ref Expression
binomlem ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomlem
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
21adantl 275 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
32oveq1d 5782 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴))
4 0zd 9059 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5 binomlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65nn0zd 9164 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
74, 6fzfigd 10197 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
8 binomlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9 fzelp1 9847 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10 elfzelz 9799 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11 bccl 10506 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
125, 10, 11syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 9025 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
149, 13sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
15 fznn0sub 9830 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
16 expcl 10304 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
178, 15, 16syl2an 287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
18 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
19 elfznn0 9887 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 expcl 10304 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
229, 21sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2317, 22mulcld 7779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
2414, 23mulcld 7779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
257, 8, 24fsummulc1 11211 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴))
268adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2714, 23, 26mulassd 7782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴)))
285nn0cnd 9025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2928adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
30 1cnd 7775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
31 elfzelz 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3231adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3332zcnd 9167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3429, 30, 33addsubd 8087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
3534oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)))
36 expp1 10293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
378, 15, 36syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
3835, 37eqtrd 2170 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
3938oveq1d 5782 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴) · (𝐵𝑘)))
4017, 26, 22mul32d 7908 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴))
4139, 40eqtrd 2170 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴))
4241oveq2d 5783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴)))
4327, 42eqtr4d 2173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
4443sumeq2dv 11130 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
45 fzssp1 9840 . . . . . . . 8 (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
4645a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
47 fznn0sub 9830 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
48 expcl 10304 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
498, 47, 48syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
5049, 21mulcld 7779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
5113, 50mulcld 7779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
529, 51sylan2 284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
535adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54 eldifi 3193 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5554, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5655adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
57 eldifn 3194 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5857adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
59 bcval3 10490 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = 0)
6053, 56, 58, 59syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑁C𝑘) = 0)
6160oveq1d 5782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6250mul02d 8147 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
6354, 62sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
6461, 63eqtrd 2170 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
65 eluzelz 9328 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘0) → 𝑛 ∈ ℤ)
6665adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑛 ∈ ℤ)
67 0zd 9059 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → 0 ∈ ℤ)
686adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 fzdcel 9813 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
7066, 67, 68, 69syl3anc 1216 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
7170ralrimiva 2503 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
72 fzssuz 9838 . . . . . . . 8 (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ‘0)
7372a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ‘0))
7468peano2zd 9169 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
75 fzdcel 9813 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7666, 67, 74, 75syl3anc 1216 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7776ralrimiva 2503 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7846, 52, 64, 71, 4, 73, 77isumss 11153 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
7925, 44, 783eqtrd 2174 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
8079adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
813, 80eqtrd 2170 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
821oveq1d 5782 . . . 4 (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵))
837, 18, 24fsummulc1 11211 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵))
84 1zzd 9074 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
8518adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8624, 85mulcld 7779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) ∈ ℂ)
87 oveq2 5775 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
88 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
8988oveq2d 5783 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))))
90 oveq2 5775 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵↑(𝑗 − 1)))
9189, 90oveq12d 5785 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))))
9287, 91oveq12d 5785 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))))
9392oveq1d 5782 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
9484, 4, 6, 86, 93fsumshft 11206 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
95 oveq1 5774 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
9695oveq2d 5783 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
9795oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
9897oveq2d 5783 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
9995oveq2d 5783 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑(𝑗 − 1)) = (𝐵↑(𝑘 − 1)))
10098, 99oveq12d 5785 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
10196, 100oveq12d 5785 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
102101oveq1d 5782 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
103102cbvsumv 11123 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵)
10494, 103syl6eq 2186 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
10528adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
106 elfzelz 9799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
107106adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
108107zcnd 9167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
109 1cnd 7775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
110105, 108, 109subsub3d 8096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
111110oveq2d 5783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)))
112111oveq1d 5782 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
113112oveq2d 5783 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
114113oveq1d 5782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
115 0z 9058 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
116 fzp1ss 9846 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
118117sseli 3088 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
11910adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
120 peano2zm 9085 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
121119, 120syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
122 bccl 10506 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
1235, 121, 122syl2an2r 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
124123nn0cnd 9025 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
125118, 124sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
126118, 49sylan2 284 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
12718adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
128 elfznn 9827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
129 0p1e1 8827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
130129oveq1i 5777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
131128, 130eleq2s 2232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
132131adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
133 nnm1nn0 9011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
134132, 133syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
135127, 134expcld 10417 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
136126, 135mulcld 7779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
137125, 136, 127mulassd 7782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)))
138126, 135, 127mulassd 7782 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
139 expm1t 10314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
14018, 131, 139syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
141140oveq2d 5783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
142138, 141eqtr4d 2173 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))
143142oveq2d 5783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
144114, 137, 1433eqtrd 2174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
145144sumeq2dv 11130 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
146117a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
147124, 50mulcld 7779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
148118, 147sylan2 284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1495adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
150 eldifi 3193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
151150adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
152151, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
153152, 120syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
154 eldifn 3194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
155154adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
156 0zd 9059 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℤ)
157149nn0zd 9164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
158 1zzd 9074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℤ)
159 fzaddel 9832 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
160156, 157, 153, 158, 159syl22anc 1217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
161152zcnd 9167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
162 ax-1cn 7706 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
163 npcan 7964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
164161, 162, 163sylancl 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
165164eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
166160, 165bitrd 187 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
167155, 166mtbird 662 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁))
168 bcval3 10490 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
169149, 153, 167, 168syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
170169oveq1d 5782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
171150, 62sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
172170, 171eqtrd 2170 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
17367peano2zd 9169 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
174 fzdcel 9813 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (0 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
17566, 173, 74, 174syl3anc 1216 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
176175ralrimiva 2503 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
177146, 148, 172, 176, 4, 73, 77isumss 11153 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
178104, 145, 1773eqtrd 2174 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
17983, 178eqtrd 2170 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
18082, 179sylan9eqr 2192 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
18181, 180oveq12d 5785 . 2 ((𝜑𝜓) → ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
1828, 18addcld 7778 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
183182, 5expp1d 10418 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)))
184182, 5expcld 10417 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
185184, 8, 18adddid 7783 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
186183, 185eqtrd 2170 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
187186adantr 274 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
188 bcpasc 10505 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
1895, 10, 188syl2an 287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
190189oveq1d 5782 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
19113, 124, 50adddird 7784 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
192190, 191eqtr3d 2172 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
193192sumeq2dv 11130 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
1946peano2zd 9169 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1954, 194fzfigd 10197 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
196195, 51, 147fsumadd 11168 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
197193, 196eqtrd 2170 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
198197adantr 274 . 2 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
199181, 187, 1983eqtr4d 2180 1 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∖ cdif 3063   ⊆ wss 3066  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618   − cmin 7926  ℕcn 8713  ℕ0cn0 8970  ℤcz 9047  ℤ≥cuz 9319  ...cfz 9783  ↑cexp 10285  Ccbc 10486  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465  df-bc 10487  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by:  binom  11246
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