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Theorem binomlem 11446
Description: Lemma for binom 11447 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
binomlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
binomlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
binomlem.4 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Assertion
Ref Expression
binomlem ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomlem
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
21adantl 275 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
32oveq1d 5868 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴))
4 0zd 9224 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5 binomlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65nn0zd 9332 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
74, 6fzfigd 10387 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
8 binomlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9 fzelp1 10030 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10 elfzelz 9981 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11 bccl 10701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
125, 10, 11syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 9190 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
149, 13sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
15 fznn0sub 10013 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
16 expcl 10494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
178, 15, 16syl2an 287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
18 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
19 elfznn0 10070 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 expcl 10494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
229, 21sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2317, 22mulcld 7940 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
2414, 23mulcld 7940 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
257, 8, 24fsummulc1 11412 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴))
268adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2714, 23, 26mulassd 7943 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴)))
285nn0cnd 9190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2928adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
30 1cnd 7936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
31 elfzelz 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3231adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3332zcnd 9335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3429, 30, 33addsubd 8251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
3534oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)))
36 expp1 10483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
378, 15, 36syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
3835, 37eqtrd 2203 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
3938oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴) · (𝐵𝑘)))
4017, 26, 22mul32d 8072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴))
4139, 40eqtrd 2203 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴))
4241oveq2d 5869 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴)))
4327, 42eqtr4d 2206 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
4443sumeq2dv 11331 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
45 fzssp1 10023 . . . . . . . 8 (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
4645a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
47 fznn0sub 10013 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
48 expcl 10494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
498, 47, 48syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
5049, 21mulcld 7940 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
5113, 50mulcld 7940 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
529, 51sylan2 284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
535adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54 eldifi 3249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5554, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5655adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
57 eldifn 3250 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5857adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
59 bcval3 10685 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = 0)
6053, 56, 58, 59syl3anc 1233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑁C𝑘) = 0)
6160oveq1d 5868 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6250mul02d 8311 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
6354, 62sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
6461, 63eqtrd 2203 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
65 eluzelz 9496 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘0) → 𝑛 ∈ ℤ)
6665adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑛 ∈ ℤ)
67 0zd 9224 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → 0 ∈ ℤ)
686adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 fzdcel 9996 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
7066, 67, 68, 69syl3anc 1233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
7170ralrimiva 2543 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
72 fzssuz 10021 . . . . . . . 8 (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ‘0)
7372a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ‘0))
7468peano2zd 9337 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
75 fzdcel 9996 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7666, 67, 74, 75syl3anc 1233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7776ralrimiva 2543 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7846, 52, 64, 71, 4, 73, 77isumss 11354 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
7925, 44, 783eqtrd 2207 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
8079adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
813, 80eqtrd 2203 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
821oveq1d 5868 . . . 4 (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵))
837, 18, 24fsummulc1 11412 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵))
84 1zzd 9239 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
8518adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8624, 85mulcld 7940 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) ∈ ℂ)
87 oveq2 5861 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
88 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
8988oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))))
90 oveq2 5861 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵↑(𝑗 − 1)))
9189, 90oveq12d 5871 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))))
9287, 91oveq12d 5871 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))))
9392oveq1d 5868 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
9484, 4, 6, 86, 93fsumshft 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
95 oveq1 5860 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
9695oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
9795oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
9897oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
9995oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑(𝑗 − 1)) = (𝐵↑(𝑘 − 1)))
10098, 99oveq12d 5871 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
10196, 100oveq12d 5871 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
102101oveq1d 5868 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
103102cbvsumv 11324 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵)
10494, 103eqtrdi 2219 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
10528adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
106 elfzelz 9981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
107106adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
108107zcnd 9335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
109 1cnd 7936 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
110105, 108, 109subsub3d 8260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
111110oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)))
112111oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
113112oveq2d 5869 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
114113oveq1d 5868 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
115 0z 9223 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
116 fzp1ss 10029 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
118117sseli 3143 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
11910adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
120 peano2zm 9250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
121119, 120syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
122 bccl 10701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
1235, 121, 122syl2an2r 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
124123nn0cnd 9190 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
125118, 124sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
126118, 49sylan2 284 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
12718adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
128 elfznn 10010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
129 0p1e1 8992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
130129oveq1i 5863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
131128, 130eleq2s 2265 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
132131adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
133 nnm1nn0 9176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
134132, 133syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
135127, 134expcld 10609 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
136126, 135mulcld 7940 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
137125, 136, 127mulassd 7943 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)))
138126, 135, 127mulassd 7943 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
139 expm1t 10504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
14018, 131, 139syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
141140oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
142138, 141eqtr4d 2206 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))
143142oveq2d 5869 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
144114, 137, 1433eqtrd 2207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
145144sumeq2dv 11331 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
146117a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
147124, 50mulcld 7940 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
148118, 147sylan2 284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1495adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
150 eldifi 3249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
151150adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
152151, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
153152, 120syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
154 eldifn 3250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
155154adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
156 0zd 9224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℤ)
157149nn0zd 9332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
158 1zzd 9239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℤ)
159 fzaddel 10015 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
160156, 157, 153, 158, 159syl22anc 1234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
161152zcnd 9335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
162 ax-1cn 7867 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
163 npcan 8128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
164161, 162, 163sylancl 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
165164eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
166160, 165bitrd 187 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
167155, 166mtbird 668 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁))
168 bcval3 10685 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
169149, 153, 167, 168syl3anc 1233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
170169oveq1d 5868 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
171150, 62sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
172170, 171eqtrd 2203 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
17367peano2zd 9337 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
174 fzdcel 9996 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (0 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
17566, 173, 74, 174syl3anc 1233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘0)) → DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
176175ralrimiva 2543 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
177146, 148, 172, 176, 4, 73, 77isumss 11354 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
178104, 145, 1773eqtrd 2207 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
17983, 178eqtrd 2203 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
18082, 179sylan9eqr 2225 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
18181, 180oveq12d 5871 . 2 ((𝜑𝜓) → ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
1828, 18addcld 7939 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
183182, 5expp1d 10610 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)))
184182, 5expcld 10609 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
185184, 8, 18adddid 7944 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
186183, 185eqtrd 2203 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
187186adantr 274 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
188 bcpasc 10700 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
1895, 10, 188syl2an 287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
190189oveq1d 5868 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
19113, 124, 50adddird 7945 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
192190, 191eqtr3d 2205 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
193192sumeq2dv 11331 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
1946peano2zd 9337 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1954, 194fzfigd 10387 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
196195, 51, 147fsumadd 11369 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
197193, 196eqtrd 2203 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
198197adantr 274 . 2 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
199181, 187, 1983eqtr4d 2213 1 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  cdif 3118  wss 3121  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  cmin 8090  cn 8878  0cn0 9135  cz 9212  cuz 9487  ...cfz 9965  cexp 10475  Ccbc 10681  Σcsu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
This theorem is referenced by:  binom  11447
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