Theorem binomlem 11475

Description: Lemma for binom 11476 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
binomlem.4	⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
binomlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomlem

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
3	2	oveq1d 5884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴))
4		0zd 9254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	4, 6	fzfigd 10417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
8		binomlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		fzelp1 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10		elfzelz 10011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11		bccl 10731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
12	5, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 9220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
14	9, 13	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
15		fznn0sub 10043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
16		expcl 10524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
17	8, 15, 16	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19		elfznn0 10100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		expcl 10524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
22	9, 21	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
23	17, 22	mulcld 7968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
24	14, 23	mulcld 7968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
25	7, 8, 24	fsummulc1 11441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴))
26	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	14, 23, 26	mulassd 7971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴)))
28	5	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		1cnd 7964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
31		elfzelz 10011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
34	29, 30, 33	addsubd 8279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
35	34	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)))
36		expp1 10513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
37	8, 15, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
38	35, 37	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
39	38	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴) · (𝐵↑𝑘)))
40	17, 26, 22	mul32d 8100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴))
41	39, 40	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴))
42	41	oveq2d 5885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴)))
43	27, 42	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
44	43	sumeq2dv 11360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
45		fzssp1 10053	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
46	45	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
47		fznn0sub 10043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
48		expcl 10524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
49	8, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
50	49, 21	mulcld 7968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
51	13, 50	mulcld 7968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
52	9, 51	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
53	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54		eldifi 3257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
57		eldifn 3258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
59		bcval3 10715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = 0)
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑁C𝑘) = 0)
61	60	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
62	50	mul02d 8339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
63	54, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
64	61, 63	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
65		eluzelz 9526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑛 ∈ ℤ)
66	65	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑛 ∈ ℤ)
67		0zd 9254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)) → 0 ∈ ℤ)
68	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
69		fzdcel 10026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)) → DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
71	70	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑛 ∈ (0...𝑁))
72		fzssuz 10051	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0)
73	72	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
74	68	peano2zd 9367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
75		fzdcel 10026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)) → DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
77	76	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑛 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 11383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
79	25, 44, 78	3eqtrd 2214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
80	79	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
81	3, 80	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
82	1	oveq1d 5884	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵))
83	7, 18, 24	fsummulc1 11441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵))
84		1zzd 9269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
85	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
86	24, 85	mulcld 7968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) ∈ ℂ)
87		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
88		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
89	88	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))))
90		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑(𝑗 − 1)))
91	89, 90	oveq12d 5887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))))
92	87, 91	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))))
93	92	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 11436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
95		oveq1 5876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
96	95	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
97	95	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
98	97	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
99	95	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑(𝑗 − 1)) = (𝐵↑(𝑘 − 1)))
100	98, 99	oveq12d 5887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
101	96, 100	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
102	101	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
103	102	cbvsumv 11353	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵)
104	94, 103	eqtrdi 2226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
105	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
106		elfzelz 10011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
108	107	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
109		1cnd 7964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
110	105, 108, 109	subsub3d 8288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
111	110	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)))
112	111	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
113	112	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
114	113	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
115		0z 9253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
116		fzp1ss 10059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
118	117	sseli 3151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
119	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
120		peano2zm 9280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
122		bccl 10731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
123	5, 121, 122	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
124	123	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
125	118, 124	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
126	118, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
127	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
128		elfznn 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
129		0p1e1 9022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
130	129	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
131	128, 130	eleq2s 2272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
133		nnm1nn0 9206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
135	127, 134	expcld 10639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
136	126, 135	mulcld 7968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
137	125, 136, 127	mulassd 7971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)))
138	126, 135, 127	mulassd 7971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
139		expm1t 10534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
140	18, 131, 139	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
141	140	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
142	138, 141	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
143	142	oveq2d 5885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
144	114, 137, 143	3eqtrd 2214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
145	144	sumeq2dv 11360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
146	117	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
147	124, 50	mulcld 7968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
148	118, 147	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
149	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
150		eldifi 3257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
154		eldifn 3258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
155	154	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
156		0zd 9254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℤ)
157	149	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
158		1zzd 9269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℤ)
159		fzaddel 10045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
161	152	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
162		ax-1cn 7895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
163		npcan 8156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
164	161, 162, 163	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
165	164	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
166	160, 165	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
167	155, 166	mtbird 673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁))
168		bcval3 10715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
170	169	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
171	150, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
172	170, 171	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
173	67	peano2zd 9367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
174		fzdcel 10026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (0 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)) → DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
176	175	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑛 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 11383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
178	104, 145, 177	3eqtrd 2214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
179	83, 178	eqtrd 2210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
180	82, 179	sylan9eqr 2232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
181	81, 180	oveq12d 5887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
182	8, 18	addcld 7967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
183	182, 5	expp1d 10640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)))
184	182, 5	expcld 10639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
185	184, 8, 18	adddid 7972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
186	183, 185	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
187	186	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
188		bcpasc 10730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
189	5, 10, 188	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
190	189	oveq1d 5884	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
191	13, 124, 50	adddird 7973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
192	190, 191	eqtr3d 2212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
193	192	sumeq2dv 11360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
194	6	peano2zd 9367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
195	4, 194	fzfigd 10417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
196	195, 51, 147	fsumadd 11398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
197	193, 196	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
198	197	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2220	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∖ cdif 3126   ⊆ wss 3129  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   − cmin 8118  ℕcn 8908  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ...cfz 9995  ↑cexp 10505  Ccbc 10711  Σcsu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  binom  11476