ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  summodclem2a GIF version

Theorem summodclem2a 11331
Description: Lemma for summodc 11333. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummolem2a.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isummolem2a.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
isummolem2a.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑁, (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
summolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
summolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
summolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
summolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
summolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
summodclem2a (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐹   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹   𝑘,𝐾,𝑛   𝑓,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem summodclem2a
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isummo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2 isummo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 isummolem2a.dc . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
4 summolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
5 summolem2.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
6 1zzd 9226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 summolem2.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnzd 9320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
96, 8fzfigd 10374 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
10 summolem2.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
119, 10fihasheqf1od 10711 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴))
12 nnnn0 9129 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 hashfz1 10704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
147, 12, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1511, 14eqtr3d 2205 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑁)
1615oveq2d 5866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁))
17 isoeq4 5780 . . . . . . . . 9 ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
1816, 17syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
195, 18mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
20 isof1o 5783 . . . . . . 7 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
2119, 20syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
22 f1of 5440 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
2321, 22syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
24 nnuz 9509 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
257, 24eleqtrdi 2263 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
26 eluzfz2 9975 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2725, 26syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
2823, 27ffvelrnd 5629 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
294, 28sseldd 3148 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
304sselda 3147 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
31 f1ocnvfv2 5754 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
3221, 31sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
33 f1ocnv 5453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
34 f1of 5440 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3521, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3635ffvelrnda 5628 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁))
37 elfzle2 9971 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
3919adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
40 fzssuz 10008 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
41 uzssz 9493 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
42 zssre 9206 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4341, 42sstri 3156 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4440, 43sstri 3156 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
45 ressxr 7950 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
4644, 45sstri 3156 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
4746a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
484adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
49 uzssz 9493 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
5049, 42sstri 3156 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5148, 50sstrdi 3159 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5251, 45sstrdi 3159 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5327adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
54 leisorel 10759 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
5539, 47, 52, 36, 53, 54syl122anc 1242 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
5638, 55mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁))
5732, 56eqbrtrrd 4011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ≤ (𝐾𝑁))
58 eluzelz 9483 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
5930, 58syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
60 eluzelz 9483 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6129, 60syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6261adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
63 eluz 9487 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
6459, 62, 63syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
6557, 64mpbird 166 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛))
66 elfzuzb 9962 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛)))
6730, 65, 66sylanbrc 415 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
6867ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
6968ssrdv 3153 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
701, 2, 3, 29, 69fsum3cvg 11328 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
71 addid2 8045 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (0 + 𝑚) = 𝑚)
7271adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (0 + 𝑚) = 𝑚)
73 addid1 8044 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
7473adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
75 addcl 7886 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
7675adantl 275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
77 0cnd 7900 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7827, 16eleqtrrd 2250 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
79 iftrue 3530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
8079adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
8180, 2eqeltrd 2247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8281adantlr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8382adantlr 474 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
84 iffalse 3533 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
85 0cn 7899 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
8684, 85eqeltrdi 2261 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8786adantl 275 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
883adantlr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
89 exmiddc 831 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
9088, 89syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
9183, 87, 90mpjaodan 793 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
92 simpll 524 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝜑)
93 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
944ssneld 3149 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑘𝐴))
9592, 93, 94sylc 62 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑘𝐴)
9695, 86syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
97 summolem2.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98 eluzdc 9556 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
9997, 98sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
100 exmiddc 831 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
10199, 100syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
10291, 96, 101mpjaodan 793 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
103102, 1fmptd 5647 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
104 eluzelz 9483 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
105 ffvelrn 5626 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
106103, 104, 105syl2an 287 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
107 elnnuz 9510 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
108107biimpri 132 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → 𝑚 ∈ ℕ)
109108adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
110 isof1o 5783 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
111 f1of 5440 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1125, 110, 1113syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
113112ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
114 1zzd 9226 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 1 ∈ ℤ)
11515, 8eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
116115ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
117 eluzelz 9483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → 𝑚 ∈ ℤ)
118117ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
119114, 116, 1183jca 1172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ))
120 eluzle 9486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ 𝑚)
121120ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 1 ≤ 𝑚)
122 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
12315breq2d 3999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑚 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑚𝑁))
124123ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑚𝑁))
125122, 124mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚 ≤ (♯‘𝐴))
126121, 125jca 304 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ (♯‘𝐴)))
127 elfz2 9959 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ (♯‘𝐴))))
128119, 126, 127sylanbrc 415 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
129113, 128ffvelrnd 5629 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (𝐾𝑚) ∈ 𝐴)
130129iftrued 3532 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → if((𝐾𝑚) ∈ 𝐴, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0) = (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵)
1314ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
13223ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
13316eleq2d 2240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ 𝑚 ∈ (1...𝑁)))
134133ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ 𝑚 ∈ (1...𝑁)))
135128, 134mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
136132, 135ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (𝐾𝑚) ∈ 𝐴)
137131, 136sseldd 3148 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (𝐾𝑚) ∈ (ℤ𝑀))
13849, 137sselid 3145 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (𝐾𝑚) ∈ ℤ)
139102ralrimiva 2543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
140139ad2antrr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → ∀𝑘 ∈ ℤ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
141 nfv 1521 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝐾𝑚) ∈ 𝐴
142 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝐾𝑚) / 𝑘𝐵
143 nfcv 2312 . . . . . . . . . . . 12 𝑘0
144141, 142, 143nfif 3553 . . . . . . . . . . 11 𝑘if((𝐾𝑚) ∈ 𝐴, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0)
145144nfel1 2323 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑚) ∈ 𝐴, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ
146 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝐾𝑚) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑚) ∈ 𝐴))
147 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝐾𝑚) → 𝐵 = (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵)
148146, 147ifbieq1d 3547 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑚) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if((𝐾𝑚) ∈ 𝐴, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0))
149148eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑚) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑚) ∈ 𝐴, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
150145, 149rspc 2828 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑚) ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ℤ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if((𝐾𝑚) ∈ 𝐴, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
151138, 140, 150sylc 62 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → if((𝐾𝑚) ∈ 𝐴, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
152130, 151eqeltrrd 2248 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚𝑁) → (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
153 0cnd 7900 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → 0 ∈ ℂ)
154109nnzd 9320 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1558adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
156 zdcle 9275 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑚𝑁)
157154, 155, 156syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑚𝑁)
158152, 153, 157ifcldadc 3554 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑚𝑁, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
159 breq1 3990 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝑁𝑚𝑁))
160 fveq2 5494 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑚))
161160csbeq1d 3056 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚(𝐾𝑛) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵)
162159, 161ifbieq1d 3547 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛𝑁, (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵, 0) = if(𝑚𝑁, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0))
163 isummolem2a.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑁, (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
164162, 163fvmptg 5570 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ if(𝑚𝑁, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐻𝑚) = if(𝑚𝑁, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0))
165109, 158, 164syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐻𝑚) = if(𝑚𝑁, (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 0))
166165, 158eqeltrd 2247 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐻𝑚) ∈ ℂ)
167 fveqeq2 5503 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑚) = 0))
168 eldifi 3249 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))))
169 elfzelz 9968 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℤ)
170168, 169syl 14 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
171 eldifn 3250 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
172171, 84syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
173172, 85eqeltrdi 2261 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1741fvmpt2 5577 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
175170, 173, 174syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
176175, 172eqtrd 2203 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
177167, 176vtoclga 2796 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 0)
178177adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 0)
179112ffvelrnda 5628 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
180179iftrued 3532 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
1814adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
182181, 179sseldd 3148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
183 eluzelz 9483 . . . . . . 7 ((𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
184182, 183syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
185 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝜑)
186185, 184jca 304 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝜑 ∧ (𝐾𝑥) ∈ ℤ))
187 nfv 1521 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑 ∧ (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
188 nfv 1521 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
189 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
190188, 189, 143nfif 3553 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0)
191190nfel1 2323 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ
192187, 191nfim 1565 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑 ∧ (𝐾𝑥) ∈ ℤ) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
193 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝐾𝑥) ∈ ℤ))
194193anbi2d 461 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐾𝑥) ∈ ℤ)))
195 eleq1 2233 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
196 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
197195, 196ifbieq1d 3547 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
198197eleq1d 2239 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
199194, 198imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐾𝑥) ∈ ℤ) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)))
200192, 199, 102vtoclg1f 2789 . . . . . . 7 ((𝐾𝑥) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐾𝑥) ∈ ℤ) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
201179, 186, 200sylc 62 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
202 eleq1 2233 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
203 csbeq1 3052 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
204202, 203ifbieq1d 3547 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
205 nfcv 2312 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
206 nfv 1521 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
207 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
208206, 207, 143nfif 3553 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0)
209 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
210 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
211209, 210ifbieq1d 3547 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
212205, 208, 211cbvmpt 4082 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
2131, 212eqtri 2191 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
214204, 213fvmptg 5570 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
215184, 201, 214syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
216 elfznn 9997 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
217216adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℕ)
218 elfzle2 9971 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ≤ (♯‘𝐴))
219218adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑥 ≤ (♯‘𝐴))
22015breq2d 3999 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑥𝑁))
221220adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑥 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑥𝑁))
222219, 221mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑥𝑁)
223222iftrued 3532 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if(𝑥𝑁, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
224180, 201eqeltrrd 2248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
225223, 224eqeltrd 2247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if(𝑥𝑁, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
226 breq1 3990 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛𝑁𝑥𝑁))
227 fveq2 5494 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑥 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑥))
228227csbeq1d 3056 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑥(𝐾𝑛) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
229226, 228ifbieq1d 3547 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → if(𝑛𝑁, (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵, 0) = if(𝑥𝑁, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
230229, 163fvmptg 5570 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ if(𝑥𝑁, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
231217, 225, 230syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
232231, 223eqtrd 2203 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
233180, 215, 2323eqtr4rd 2214 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
23472, 74, 76, 77, 5, 78, 4, 106, 166, 178, 233seq3coll 10764 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
23515, 7eqeltrd 2247 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
236235, 7jca 304 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
23716eqcomd 2176 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑁) = (1...(♯‘𝐴)))
238 f1oeq2 5430 . . . . . 6 ((1...𝑁) = (1...(♯‘𝐴)) → (𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴))
239237, 238syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴))
24010, 239mpbid 146 . . . 4 (𝜑𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
241 isummolem2a.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
2421, 2, 236, 240, 21, 241, 163summodclem3 11330 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐺)‘(♯‘𝐴)) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
24315fveq2d 5498 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐺)‘(♯‘𝐴)) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
244234, 242, 2433eqtr2d 2209 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
24570, 244breqtrd 4013 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  DECID wdc 829  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  csb 3049  cdif 3118  wss 3121  ifcif 3525   class class class wbr 3987  cmpt 4048  ccnv 4608  wf 5192  1-1-ontowf1o 5195  cfv 5196   Isom wiso 5197  (class class class)co 5850  cc 7759  cr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   + caddc 7764  *cxr 7940   < clt 7941  cle 7942  cn 8865  0cn0 9122  cz 9199  cuz 9474  ...cfz 9952  seqcseq 10388  chash 10696  cli 11228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229
This theorem is referenced by:  summodclem2  11332  zsumdc  11334
  Copyright terms: Public domain W3C validator