ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodmodclem2a GIF version

Theorem prodmodclem2a 11539
Description: Lemma for prodmodc 11541. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmodc.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ if(𝑗 ≤ (♯‘𝐴), (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵, 1))
prodmodclem2.4 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ if(𝑗 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵, 1))
prodmodclem2a.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
prodmolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prodmolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodmolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodmolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
prodmolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2a (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝑓,𝑗,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑗)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑗)   𝐺(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑓,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem prodmodclem2a
Dummy variables 𝑝 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2 prodmo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 prodmodclem2a.dc . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
4 prodmolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
5 prodmolem2.9 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
6 1zzd 9239 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnzd 9333 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
96, 8fzfigd 10387 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
10 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
119, 10fihasheqf1od 10724 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴))
127nnnn0d 9188 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
13 hashfz1 10717 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1511, 14eqtr3d 2205 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑁)
1615oveq2d 5869 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁))
17 isoeq4 5783 . . . . . . . 8 ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
195, 18mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
20 isof1o 5786 . . . . . 6 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
21 f1of 5442 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
2219, 20, 213syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
23 nnuz 9522 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
247, 23eleqtrdi 2263 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
25 eluzfz2 9988 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2624, 25syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
2722, 26ffvelrnd 5632 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
284, 27sseldd 3148 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
294sselda 3147 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ (ℤ𝑀))
3019, 20syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
31 f1ocnvfv2 5757 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑝𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑝)) = 𝑝)
3230, 31sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑝)) = 𝑝)
33 f1ocnv 5455 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
34 f1of 5442 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3530, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3635ffvelrnda 5631 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝐾𝑝) ∈ (1...𝑁))
37 elfzle2 9984 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑝) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑝) ≤ 𝑁)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝐾𝑝) ≤ 𝑁)
3919adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
40 fzssuz 10021 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
41 uzssz 9506 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
42 zssre 9219 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4341, 42sstri 3156 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4440, 43sstri 3156 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
45 ressxr 7963 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
4644, 45sstri 3156 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
4746a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
48 uzssz 9506 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4948, 42sstri 3156 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5049, 45sstri 3156 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ*
514, 50sstrdi 3159 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
5251adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5326adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
54 leisorel 10772 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑝) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑝) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑝)) ≤ (𝐾𝑁)))
5539, 47, 52, 36, 53, 54syl122anc 1242 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐴) → ((𝐾𝑝) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑝)) ≤ (𝐾𝑁)))
5638, 55mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑝)) ≤ (𝐾𝑁))
5732, 56eqbrtrrd 4013 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ≤ (𝐾𝑁))
584, 48sstrdi 3159 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
5958sselda 3147 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ℤ)
6048, 28sselid 3145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6160adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
62 eluz 9500 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ (𝐾𝑁)))
6359, 61, 62syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ (𝐾𝑁)))
6457, 63mpbird 166 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑝))
65 elfzuzb 9975 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑝 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑝)))
6629, 64, 65sylanbrc 415 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
6766ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝑝𝐴𝑝 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
6867ssrdv 3153 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
691, 2, 3, 28, 68fproddccvg 11535 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
70 mulid2 7918 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (1 · 𝑚) = 𝑚)
7170adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (1 · 𝑚) = 𝑚)
72 mulid1 7917 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
7372adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
74 mulcl 7901 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
7574adantl 275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
76 1cnd 7936 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7726, 16eleqtrrd 2250 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
78 eluzelz 9496 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
79 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
802ralrimiva 2543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
8180ad2antrr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
82 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
8382nfel1 2323 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
84 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
8584eleq1d 2239 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
8683, 85rspc 2828 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
8779, 81, 86sylc 62 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
88 1cnd 7936 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 1 ∈ ℂ)
89 eleq1 2233 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
9089dcbid 833 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (DECID 𝑘𝐴DECID 𝑚𝐴))
913ralrimiva 2543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝐴)
9291adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝐴)
93 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
9490, 92, 93rspcdva 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐴)
9587, 88, 94ifcldadc 3555 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
96 nfcv 2312 . . . . . . 7 𝑘𝑚
97 nfv 1521 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚𝐴
98 nfcv 2312 . . . . . . . 8 𝑘1
9997, 82, 98nfif 3554 . . . . . . 7 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1)
10089, 84ifbieq1d 3548 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
10196, 99, 100, 1fvmptf 5588 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
10278, 95, 101syl2an2 589 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
103102, 95eqeltrd 2247 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
104 prodmodclem2.4 . . . . . 6 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ if(𝑗 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵, 1))
105 breq1 3992 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)))
106 fveq2 5496 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑚))
107106csbeq1d 3056 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑚(𝐾𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵)
108105, 107ifbieq1d 3548 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑗 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵, 1) = if(𝑚 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 1))
109 elnnuz 9523 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
110109biimpri 132 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → 𝑚 ∈ ℕ)
111110adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
11222ad2antrr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
113 1zzd 9239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 1 ∈ ℤ)
1148ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 𝑁 ∈ ℤ)
115 eluzelz 9496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → 𝑚 ∈ ℤ)
116115ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℤ)
117113, 114, 1163jca 1172 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ))
118 eluzle 9499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ 𝑚)
119118ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 1 ≤ 𝑚)
120 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 𝑚 ≤ (♯‘𝐴))
12115ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → (♯‘𝐴) = 𝑁)
122120, 121breqtrd 4015 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 𝑚𝑁)
123119, 122jca 304 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → (1 ≤ 𝑚𝑚𝑁))
124 elfz2 9972 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑚𝑚𝑁)))
125117, 123, 124sylanbrc 415 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
126112, 125ffvelrnd 5632 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → (𝐾𝑚) ∈ 𝐴)
12780ad2antrr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
128 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐾𝑚) / 𝑘𝐵
129128nfel1 2323 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐾𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
130 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑚) → 𝐵 = (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵)
131130eleq1d 2239 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
132129, 131rspc 2828 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑚) ∈ 𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
133126, 127, 132sylc 62 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
134 1cnd 7936 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑚 ≤ (♯‘𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
135111nnzd 9333 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
13615, 8eqeltrd 2247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
137136adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
138 zdcle 9288 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → DECID 𝑚 ≤ (♯‘𝐴))
139135, 137, 138syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑚 ≤ (♯‘𝐴))
140133, 134, 139ifcldadc 3555 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑚 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
141104, 108, 111, 140fvmptd3 5589 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐻𝑚) = if(𝑚 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑚) / 𝑘𝐵, 1))
142141, 140eqeltrd 2247 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐻𝑚) ∈ ℂ)
143 eldifi 3249 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))))
144 elfzelz 9981 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
145143, 144syl 14 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
146 eldifn 3250 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
147146iffalsed 3536 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
148 ax-1cn 7867 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
149147, 148eqeltrdi 2261 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
150149adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
151145, 150, 101syl2an2 589 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
152147adantl 275 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
153151, 152eqtrd 2203 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 1)
154 elfzle2 9984 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ≤ (♯‘𝐴))
155154adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑥 ≤ (♯‘𝐴))
156155iftrued 3533 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if(𝑥 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
157 breq1 3992 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥 → (𝑗 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑥 ≤ (♯‘𝐴)))
158 fveq2 5496 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑥))
159158csbeq1d 3056 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥(𝐾𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
160157, 159ifbieq1d 3548 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑥 → if(𝑗 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵, 1) = if(𝑥 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
161 elfznn 10010 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
162161adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℕ)
16322adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
164 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
16515adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) = 𝑁)
166165oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁))
167164, 166eleqtrd 2249 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
168163, 167ffvelrnd 5632 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
16980adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
170 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
171170nfel1 2323 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
172 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
173172eleq1d 2239 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
174171, 173rspc 2828 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑥) ∈ 𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
175168, 169, 174sylc 62 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
176156, 175eqeltrd 2247 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if(𝑥 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
177104, 160, 162, 176fvmptd3 5589 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = if(𝑥 ≤ (♯‘𝐴), (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
1784adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
179178, 48sstrdi 3159 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℤ)
180179, 168sseldd 3148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
181168iftrued 3533 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
182181, 175eqeltrd 2247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
183 nfcv 2312 . . . . . . . 8 𝑘(𝐾𝑥)
184 nfv 1521 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
185184, 170, 98nfif 3554 . . . . . . . 8 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1)
186 eleq1 2233 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
187186, 172ifbieq1d 3548 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
188183, 185, 187, 1fvmptf 5588 . . . . . . 7 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
189180, 182, 188syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
190189, 181eqtrd 2203 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
191156, 177, 1903eqtr4d 2213 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
19271, 73, 75, 76, 5, 77, 4, 103, 142, 153, 191seq3coll 10777 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
193 prodmodc.3 . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ if(𝑗 ≤ (♯‘𝐴), (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵, 1))
1947, 7jca 304 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1951, 2, 193, 104, 194, 10, 30prodmodclem3 11538 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
196192, 195eqtr4d 2206 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
19769, 196breqtrd 4015 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 829  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  csb 3049  cdif 3118  wss 3121  ifcif 3526   class class class wbr 3989  cmpt 4050  ccnv 4610  wf 5194  1-1-ontowf1o 5197  cfv 5198   Isom wiso 5199  (class class class)co 5853  cc 7772  cr 7773  1c1 7775   · cmul 7779  *cxr 7953   < clt 7954  cle 7955  cn 8878  0cn0 9135  cz 9212  cuz 9487  ...cfz 9965  seqcseq 10401  chash 10709  cli 11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242
This theorem is referenced by:  prodmodclem2  11540  zproddc  11542
  Copyright terms: Public domain W3C validator