Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | prodmo.1 |
. . 3
โข ๐น = (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)) |
2 | | prodmo.2 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
3 | | prodmodclem2a.dc |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ DECID
๐ โ ๐ด) |
4 | | prodmolem2.7 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ด โ (โคโฅโ๐)) |
5 | | prodmolem2.9 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐พ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด)) |
6 | | 1zzd 9279 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ 1 โ
โค) |
7 | | prodmolem2.5 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
8 | 7 | nnzd 9373 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
9 | 6, 8 | fzfigd 10430 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (1...๐) โ Fin) |
10 | | prodmolem2.8 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) |
11 | 9, 10 | fihasheqf1od 10768 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (โฏโ(1...๐)) = (โฏโ๐ด)) |
12 | 7 | nnnn0d 9228 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ
โ0) |
13 | | hashfz1 10762 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ (โฏโ(1...๐)) = ๐) |
14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (โฏโ(1...๐)) = ๐) |
15 | 11, 14 | eqtr3d 2212 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = ๐) |
16 | 15 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (1...(โฏโ๐ด)) = (1...๐)) |
17 | | isoeq4 5804 |
. . . . . . . 8
โข
((1...(โฏโ๐ด)) = (1...๐) โ (๐พ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด) โ ๐พ Isom < , < ((1...๐), ๐ด))) |
18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐พ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด) โ ๐พ Isom < , < ((1...๐), ๐ด))) |
19 | 5, 18 | mpbid 147 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐พ Isom < , < ((1...๐), ๐ด)) |
20 | | isof1o 5807 |
. . . . . 6
โข (๐พ Isom < , < ((1...๐), ๐ด) โ ๐พ:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) |
21 | | f1of 5461 |
. . . . . 6
โข (๐พ:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โ ๐พ:(1...๐)โถ๐ด) |
22 | 19, 20, 21 | 3syl 17 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐พ:(1...๐)โถ๐ด) |
23 | | nnuz 9562 |
. . . . . . 7
โข โ =
(โคโฅโ1) |
24 | 7, 23 | eleqtrdi 2270 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ โ
(โคโฅโ1)) |
25 | | eluzfz2 10031 |
. . . . . 6
โข (๐ โ
(โคโฅโ1) โ ๐ โ (1...๐)) |
26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) |
27 | 22, 26 | ffvelcdmd 5652 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐พโ๐) โ ๐ด) |
28 | 4, 27 | sseldd 3156 |
. . 3
โข (๐ โ (๐พโ๐) โ (โคโฅโ๐)) |
29 | 4 | sselda 3155 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
30 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐พ:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) |
31 | | f1ocnvfv2 5778 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐พ:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐พโ(โก๐พโ๐)) = ๐) |
32 | 30, 31 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐พโ(โก๐พโ๐)) = ๐) |
33 | | f1ocnv 5474 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐พ:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โ โก๐พ:๐ดโ1-1-ontoโ(1...๐)) |
34 | | f1of 5461 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (โก๐พ:๐ดโ1-1-ontoโ(1...๐) โ โก๐พ:๐ดโถ(1...๐)) |
35 | 30, 33, 34 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โก๐พ:๐ดโถ(1...๐)) |
36 | 35 | ffvelcdmda 5651 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (โก๐พโ๐) โ (1...๐)) |
37 | | elfzle2 10027 |
. . . . . . . . . 10
โข ((โก๐พโ๐) โ (1...๐) โ (โก๐พโ๐) โค ๐) |
38 | 36, 37 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (โก๐พโ๐) โค ๐) |
39 | 19 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐พ Isom < , < ((1...๐), ๐ด)) |
40 | | fzssuz 10064 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(1...๐) โ
(โคโฅโ1) |
41 | | uzssz 9546 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(โคโฅโ1) โ โค |
42 | | zssre 9259 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข โค
โ โ |
43 | 41, 42 | sstri 3164 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(โคโฅโ1) โ โ |
44 | 40, 43 | sstri 3164 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(1...๐) โ
โ |
45 | | ressxr 8000 |
. . . . . . . . . . . 12
โข โ
โ โ* |
46 | 44, 45 | sstri 3164 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(1...๐) โ
โ* |
47 | 46 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (1...๐) โ
โ*) |
48 | | uzssz 9546 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(โคโฅโ๐) โ โค |
49 | 48, 42 | sstri 3164 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(โคโฅโ๐) โ โ |
50 | 49, 45 | sstri 3164 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(โคโฅโ๐) โ
โ* |
51 | 4, 50 | sstrdi 3167 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ด โ
โ*) |
52 | 51 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ด โ
โ*) |
53 | 26 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (1...๐)) |
54 | | leisorel 10816 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐พ Isom < , < ((1...๐), ๐ด) โง ((1...๐) โ โ* โง ๐ด โ โ*)
โง ((โก๐พโ๐) โ (1...๐) โง ๐ โ (1...๐))) โ ((โก๐พโ๐) โค ๐ โ (๐พโ(โก๐พโ๐)) โค (๐พโ๐))) |
55 | 39, 47, 52, 36, 53, 54 | syl122anc 1247 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ((โก๐พโ๐) โค ๐ โ (๐พโ(โก๐พโ๐)) โค (๐พโ๐))) |
56 | 38, 55 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐พโ(โก๐พโ๐)) โค (๐พโ๐)) |
57 | 32, 56 | eqbrtrrd 4027 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โค (๐พโ๐)) |
58 | 4, 48 | sstrdi 3167 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
59 | 58 | sselda 3155 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ โค) |
60 | 48, 28 | sselid 3153 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐พโ๐) โ โค) |
61 | 60 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐พโ๐) โ โค) |
62 | | eluz 9540 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โค โง (๐พโ๐) โ โค) โ ((๐พโ๐) โ (โคโฅโ๐) โ ๐ โค (๐พโ๐))) |
63 | 59, 61, 62 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ((๐พโ๐) โ (โคโฅโ๐) โ ๐ โค (๐พโ๐))) |
64 | 57, 63 | mpbird 167 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐พโ๐) โ (โคโฅโ๐)) |
65 | | elfzuzb 10018 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐...(๐พโ๐)) โ (๐ โ (โคโฅโ๐) โง (๐พโ๐) โ (โคโฅโ๐))) |
66 | 29, 64, 65 | sylanbrc 417 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (๐...(๐พโ๐))) |
67 | 66 | ex 115 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โ ๐ โ (๐...(๐พโ๐)))) |
68 | 67 | ssrdv 3161 |
. . 3
โข (๐ โ ๐ด โ (๐...(๐พโ๐))) |
69 | 1, 2, 3, 28, 68 | fproddccvg 11579 |
. 2
โข (๐ โ seq๐( ยท , ๐น) โ (seq๐( ยท , ๐น)โ(๐พโ๐))) |
70 | | mullid 7954 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ โ (1
ยท ๐) = ๐) |
71 | 70 | adantl 277 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ (1 ยท ๐) = ๐) |
72 | | mulrid 7953 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ โ (๐ ยท 1) = ๐) |
73 | 72 | adantl 277 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท 1) = ๐) |
74 | | mulcl 7937 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ ยท ๐ฅ) โ โ) |
75 | 74 | adantl 277 |
. . . 4
โข ((๐ โง (๐ โ โ โง ๐ฅ โ โ)) โ (๐ ยท ๐ฅ) โ โ) |
76 | | 1cnd 7972 |
. . . 4
โข (๐ โ 1 โ
โ) |
77 | 26, 16 | eleqtrrd 2257 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ โ (1...(โฏโ๐ด))) |
78 | | eluzelz 9536 |
. . . . . 6
โข (๐ โ
(โคโฅโ๐) โ ๐ โ โค) |
79 | | simpr 110 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ด) |
80 | 2 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
81 | 80 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โง ๐ โ ๐ด) โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
82 | | nfcsb1v 3090 |
. . . . . . . . . 10
โข
โฒ๐โฆ๐ / ๐โฆ๐ต |
83 | 82 | nfel1 2330 |
. . . . . . . . 9
โข
โฒ๐โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ |
84 | | csbeq1a 3066 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐โฆ๐ต) |
85 | 84 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ (๐ต โ โ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
86 | 83, 85 | rspc 2835 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด โ (โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
87 | 79, 81, 86 | sylc 62 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โง ๐ โ ๐ด) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ) |
88 | | 1cnd 7972 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ 1 โ โ) |
89 | | eleq1 2240 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ด โ ๐ โ ๐ด)) |
90 | 89 | dcbid 838 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ โ (DECID ๐ โ ๐ด โ DECID ๐ โ ๐ด)) |
91 | 3 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ๐ โ (โคโฅโ๐)DECID ๐ โ ๐ด) |
92 | 91 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ โ๐ โ
(โคโฅโ๐)DECID ๐ โ ๐ด) |
93 | | simpr 110 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
94 | 90, 92, 93 | rspcdva 2846 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ DECID
๐ โ ๐ด) |
95 | 87, 88, 94 | ifcldadc 3563 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1) โ โ) |
96 | | nfcv 2319 |
. . . . . . 7
โข
โฒ๐๐ |
97 | | nfv 1528 |
. . . . . . . 8
โข
โฒ๐ ๐ โ ๐ด |
98 | | nfcv 2319 |
. . . . . . . 8
โข
โฒ๐1 |
99 | 97, 82, 98 | nfif 3562 |
. . . . . . 7
โข
โฒ๐if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1) |
100 | 89, 84 | ifbieq1d 3556 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1)) |
101 | 96, 99, 100, 1 | fvmptf 5608 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ โค โง if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1) โ โ) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1)) |
102 | 78, 95, 101 | syl2an2 594 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1)) |
103 | 102, 95 | eqeltrd 2254 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) โ โ) |
104 | | prodmodclem2.4 |
. . . . . 6
โข ๐ป = (๐ โ โ โฆ if(๐ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
105 | | breq1 4006 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ โ (๐ โค (โฏโ๐ด) โ ๐ โค (โฏโ๐ด))) |
106 | | fveq2 5515 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ โ (๐พโ๐) = (๐พโ๐)) |
107 | 106 | csbeq1d 3064 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ โ โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต = โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต) |
108 | 105, 107 | ifbieq1d 3556 |
. . . . . 6
โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต, 1) = if(๐ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
109 | | elnnuz 9563 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
(โคโฅโ1)) |
110 | 109 | biimpri 133 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ
(โคโฅโ1) โ ๐ โ โ) |
111 | 110 | adantl 277 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โ ๐ โ
โ) |
112 | 22 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
๐พ:(1...๐)โถ๐ด) |
113 | | 1zzd 9279 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ 1
โ โค) |
114 | 8 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
๐ โ
โค) |
115 | | eluzelz 9536 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ
(โคโฅโ1) โ ๐ โ โค) |
116 | 115 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
๐ โ
โค) |
117 | 113, 114,
116 | 3jca 1177 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
(1 โ โค โง ๐
โ โค โง ๐
โ โค)) |
118 | | eluzle 9539 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ
(โคโฅโ1) โ 1 โค ๐) |
119 | 118 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ 1
โค ๐) |
120 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
๐ โค (โฏโ๐ด)) |
121 | 15 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
(โฏโ๐ด) = ๐) |
122 | 120, 121 | breqtrd 4029 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
๐ โค ๐) |
123 | 119, 122 | jca 306 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
(1 โค ๐ โง ๐ โค ๐)) |
124 | | elfz2 10014 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (1...๐) โ ((1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (1 โค
๐ โง ๐ โค ๐))) |
125 | 117, 123,
124 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
๐ โ (1...๐)) |
126 | 112, 125 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
(๐พโ๐) โ ๐ด) |
127 | 80 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
128 | | nfcsb1v 3090 |
. . . . . . . . . 10
โข
โฒ๐โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต |
129 | 128 | nfel1 2330 |
. . . . . . . . 9
โข
โฒ๐โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต โ โ |
130 | | csbeq1a 3066 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (๐พโ๐) โ ๐ต = โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต) |
131 | 130 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = (๐พโ๐) โ (๐ต โ โ โ โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
132 | 129, 131 | rspc 2835 |
. . . . . . . 8
โข ((๐พโ๐) โ ๐ด โ (โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ โ โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
133 | 126, 127,
132 | sylc 62 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ
โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต โ โ) |
134 | | 1cnd 7972 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โง ยฌ ๐ โค
(โฏโ๐ด)) โ 1
โ โ) |
135 | 111 | nnzd 9373 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โ ๐ โ
โค) |
136 | 15, 8 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (โฏโ๐ด) โ
โค) |
137 | 136 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โ (โฏโ๐ด)
โ โค) |
138 | | zdcle 9328 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โค โง
(โฏโ๐ด) โ
โค) โ DECID ๐ โค (โฏโ๐ด)) |
139 | 135, 137,
138 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โ DECID ๐ โค (โฏโ๐ด)) |
140 | 133, 134,
139 | ifcldadc 3563 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โ if(๐ โค
(โฏโ๐ด),
โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต, 1) โ โ) |
141 | 104, 108,
111, 140 | fvmptd3 5609 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โ (๐ปโ๐) = if(๐ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
142 | 141, 140 | eqeltrd 2254 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1))
โ (๐ปโ๐) โ
โ) |
143 | | eldifi 3257 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด) โ ๐ โ (๐...(๐พโ(โฏโ๐ด)))) |
144 | | elfzelz 10024 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ โ โค) |
145 | 143, 144 | syl 14 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด) โ ๐ โ โค) |
146 | | eldifn 3258 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด) โ ยฌ ๐ โ ๐ด) |
147 | 146 | iffalsed 3544 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด) โ if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1) = 1) |
148 | | ax-1cn 7903 |
. . . . . . . 8
โข 1 โ
โ |
149 | 147, 148 | eqeltrdi 2268 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด) โ if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1) โ โ) |
150 | 149 | adantl 277 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด)) โ if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1) โ โ) |
151 | 145, 150,
101 | syl2an2 594 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด)) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1)) |
152 | 147 | adantl 277 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด)) โ if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1) = 1) |
153 | 151, 152 | eqtrd 2210 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ ((๐...(๐พโ(โฏโ๐ด))) โ ๐ด)) โ (๐นโ๐) = 1) |
154 | | elfzle2 10027 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ โ
(1...(โฏโ๐ด))
โ ๐ฅ โค
(โฏโ๐ด)) |
155 | 154 | adantl 277 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ ๐ฅ โค (โฏโ๐ด)) |
156 | 155 | iftrued 3541 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ if(๐ฅ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1) = โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต) |
157 | | breq1 4006 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ฅ โ (๐ โค (โฏโ๐ด) โ ๐ฅ โค (โฏโ๐ด))) |
158 | | fveq2 5515 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ฅ โ (๐พโ๐) = (๐พโ๐ฅ)) |
159 | 158 | csbeq1d 3064 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ฅ โ โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต = โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต) |
160 | 157, 159 | ifbieq1d 3556 |
. . . . . 6
โข (๐ = ๐ฅ โ if(๐ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐) / ๐โฆ๐ต, 1) = if(๐ฅ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
161 | | elfznn 10053 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ โ
(1...(โฏโ๐ด))
โ ๐ฅ โ
โ) |
162 | 161 | adantl 277 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ ๐ฅ โ โ) |
163 | 22 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ ๐พ:(1...๐)โถ๐ด) |
164 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) |
165 | 15 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ (โฏโ๐ด) = ๐) |
166 | 165 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ (1...(โฏโ๐ด)) = (1...๐)) |
167 | 164, 166 | eleqtrd 2256 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ ๐ฅ โ (1...๐)) |
168 | 163, 167 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ (๐พโ๐ฅ) โ ๐ด) |
169 | 80 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
170 | | nfcsb1v 3090 |
. . . . . . . . . 10
โข
โฒ๐โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต |
171 | 170 | nfel1 2330 |
. . . . . . . . 9
โข
โฒ๐โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต โ โ |
172 | | csbeq1a 3066 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (๐พโ๐ฅ) โ ๐ต = โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต) |
173 | 172 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = (๐พโ๐ฅ) โ (๐ต โ โ โ โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
174 | 171, 173 | rspc 2835 |
. . . . . . . 8
โข ((๐พโ๐ฅ) โ ๐ด โ (โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ โ โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
175 | 168, 169,
174 | sylc 62 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต โ โ) |
176 | 156, 175 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ if(๐ฅ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1) โ โ) |
177 | 104, 160,
162, 176 | fvmptd3 5609 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ (๐ปโ๐ฅ) = if(๐ฅ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
178 | 4 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ ๐ด โ (โคโฅโ๐)) |
179 | 178, 48 | sstrdi 3167 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ ๐ด โ โค) |
180 | 179, 168 | sseldd 3156 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ (๐พโ๐ฅ) โ โค) |
181 | 168 | iftrued 3541 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ if((๐พโ๐ฅ) โ ๐ด, โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1) = โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต) |
182 | 181, 175 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ if((๐พโ๐ฅ) โ ๐ด, โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1) โ โ) |
183 | | nfcv 2319 |
. . . . . . . 8
โข
โฒ๐(๐พโ๐ฅ) |
184 | | nfv 1528 |
. . . . . . . . 9
โข
โฒ๐(๐พโ๐ฅ) โ ๐ด |
185 | 184, 170,
98 | nfif 3562 |
. . . . . . . 8
โข
โฒ๐if((๐พโ๐ฅ) โ ๐ด, โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1) |
186 | | eleq1 2240 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = (๐พโ๐ฅ) โ (๐ โ ๐ด โ (๐พโ๐ฅ) โ ๐ด)) |
187 | 186, 172 | ifbieq1d 3556 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = (๐พโ๐ฅ) โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) = if((๐พโ๐ฅ) โ ๐ด, โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
188 | 183, 185,
187, 1 | fvmptf 5608 |
. . . . . . 7
โข (((๐พโ๐ฅ) โ โค โง if((๐พโ๐ฅ) โ ๐ด, โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1) โ โ) โ (๐นโ(๐พโ๐ฅ)) = if((๐พโ๐ฅ) โ ๐ด, โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
189 | 180, 182,
188 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ (๐นโ(๐พโ๐ฅ)) = if((๐พโ๐ฅ) โ ๐ด, โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
190 | 189, 181 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ (๐นโ(๐พโ๐ฅ)) = โฆ(๐พโ๐ฅ) / ๐โฆ๐ต) |
191 | 156, 177,
190 | 3eqtr4d 2220 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ฅ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ (๐ปโ๐ฅ) = (๐นโ(๐พโ๐ฅ))) |
192 | 71, 73, 75, 76, 5, 77, 4, 103, 142, 153, 191 | seq3coll 10821 |
. . 3
โข (๐ โ (seq๐( ยท , ๐น)โ(๐พโ๐)) = (seq1( ยท , ๐ป)โ๐)) |
193 | | prodmodc.3 |
. . . 4
โข ๐บ = (๐ โ โ โฆ if(๐ โค (โฏโ๐ด), โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต, 1)) |
194 | 7, 7 | jca 306 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ)) |
195 | 1, 2, 193, 104, 194, 10, 30 | prodmodclem3 11582 |
. . 3
โข (๐ โ (seq1( ยท , ๐บ)โ๐) = (seq1( ยท , ๐ป)โ๐)) |
196 | 192, 195 | eqtr4d 2213 |
. 2
โข (๐ โ (seq๐( ยท , ๐น)โ(๐พโ๐)) = (seq1( ยท , ๐บ)โ๐)) |
197 | 69, 196 | breqtrd 4029 |
1
โข (๐ โ seq๐( ยท , ๐น) โ (seq1( ยท , ๐บ)โ๐)) |