Theorem fprodsplitdc 12388

Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 12389 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitdc.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplitdc.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplitdc.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitdc.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
fprodsplitdc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitdc	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3645	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
2	1	prodeq2i 12354	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
3		ssun1 3392	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
4		fprodsplitdc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
5	3, 4	sseqtrrid 3299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
6	1	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
7	5	sselda 3248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
8		fprodsplitdc.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	6, 9	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11		fprodsplitdc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
12		eldifn 3352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12	iffalsed 3650	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
15		fprodsplitdc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
16	5, 10, 11, 14, 15	fprodssdc 12382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
17	2, 16	eqtr3id 2285	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
18		iftrue 3645	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
19	18	prodeq2i 12354	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
20		ssun2 3393	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20, 4	sseqtrrid 3299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
22	18	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
23	21	sselda 3248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23, 8	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	22, 24	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
26		fprodsplitdc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27		disj 3573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
29	28	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
30	29	r19.21bi 2638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
31	30	olcd 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
32		df-dc 847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
35		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑈)
36	4	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
37	36	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
39		elun 3370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
41	40	orcomd 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ 𝑗 ∈ 𝐴))
42	34, 41	ecased 1390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐵)
43	42	orcd 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
44	43, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
45		exmiddc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
47	33, 44, 46	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
48	47	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → DECID 𝑗 ∈ 𝐵))
49	48	ralimdva 2617	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵))
50	11, 49	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
51		eldifn 3352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
52	51	iffalsed 3650	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
53	52	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
54	21, 25, 50, 53, 15	fprodssdc 12382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
55	19, 54	eqtr3id 2285	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
56	17, 55	oveq12d 6106	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
57		1cnd 8348	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
58		eleq1w 2299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
59	58	dcbid 850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
60	59	cbvralv 2786	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
61	11, 60	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
62	61	r19.21bi 2638	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
63	8, 57, 62	ifcldcd 3678	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
64		eleq1w 2299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
65	64	dcbid 850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
66	65	cbvralv 2786	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
67	50, 66	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
68	67	r19.21bi 2638	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
69	8, 57, 68	ifcldcd 3678	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
70	15, 63, 69	fprodmul 12383	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
71	4	eleq2d 2308	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
72		elun 3370	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
73	71, 72	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
74	73	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
75		disjel 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
76	26, 75	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
77	76	iffalsed 3650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
78	6, 77	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
79	9	mulridd 8349	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
80	78, 79	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
81	76	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
82	81	con2d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
83	82	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
84	83	iffalsed 3650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
85	84, 22	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
86	24	mullidd 8350	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
87	85, 86	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
88	80, 87	jaodan 809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
89	74, 88	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
90	89	prodeq2dv 12358	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
91	56, 70, 90	3eqtr2rd 2278	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  ifcif 3638  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  ℂcc 8183  1c1 8186   · cmul 8190  ∏cprod 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-proddc 12343

This theorem is used by:  fprodsplit  12389  fprodm1  12390  fprod1p  12391  fprodunsn  12396  fprodeq0  12409