Theorem fprodsplitdc 12278

Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 12279 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitdc.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplitdc.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplitdc.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitdc.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
fprodsplitdc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitdc	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3626	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
2	1	prodeq2i 12244	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
3		ssun1 3381	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
4		fprodsplitdc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
5	3, 4	sseqtrrid 3288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
6	1	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
7	5	sselda 3237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
8		fprodsplitdc.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	6, 9	eqeltrd 2309	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11		fprodsplitdc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
12		eldifn 3341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12	iffalsed 3631	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
15		fprodsplitdc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
16	5, 10, 11, 14, 15	fprodssdc 12272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
17	2, 16	eqtr3id 2279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
18		iftrue 3626	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
19	18	prodeq2i 12244	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
20		ssun2 3382	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20, 4	sseqtrrid 3288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
22	18	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
23	21	sselda 3237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23, 8	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	22, 24	eqeltrd 2309	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
26		fprodsplitdc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27		disj 3556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
30	29	r19.21bi 2630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
31	30	olcd 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
32		df-dc 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
35		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑈)
36	4	eleq2d 2302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
39		elun 3359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
41	40	orcomd 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ 𝑗 ∈ 𝐴))
42	34, 41	ecased 1386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐵)
43	42	orcd 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
44	43, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
45		exmiddc 844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
47	33, 44, 46	mpjaodan 806	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
48	47	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → DECID 𝑗 ∈ 𝐵))
49	48	ralimdva 2609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵))
50	11, 49	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
51		eldifn 3341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
52	51	iffalsed 3631	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
53	52	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
54	21, 25, 50, 53, 15	fprodssdc 12272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
55	19, 54	eqtr3id 2279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
56	17, 55	oveq12d 6067	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
57		1cnd 8289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
58		eleq1w 2293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
59	58	dcbid 846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
60	59	cbvralv 2777	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
61	11, 60	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
62	61	r19.21bi 2630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
63	8, 57, 62	ifcldcd 3659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
64		eleq1w 2293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
65	64	dcbid 846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
66	65	cbvralv 2777	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
67	50, 66	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
68	67	r19.21bi 2630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
69	8, 57, 68	ifcldcd 3659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
70	15, 63, 69	fprodmul 12273	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
71	4	eleq2d 2302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
72		elun 3359	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
73	71, 72	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
74	73	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
75		disjel 3562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
76	26, 75	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
77	76	iffalsed 3631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
78	6, 77	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
79	9	mulridd 8290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
80	78, 79	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
81	76	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
82	81	con2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
83	82	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
84	83	iffalsed 3631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
85	84, 22	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
86	24	mullidd 8291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
87	85, 86	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
88	80, 87	jaodan 805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
89	74, 88	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
90	89	prodeq2dv 12248	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
91	56, 70, 90	3eqtr2rd 2272	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   ∖ cdif 3207   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3507  ifcif 3619  (class class class)co 6049  Fincfn 6974  ℂcc 8124  1c1 8127   · cmul 8131  ∏cprod 12232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-proddc 12233

This theorem is referenced by:  fprodsplit  12279  fprodm1  12280  fprod1p  12281  fprodunsn  12286  fprodeq0  12299