Theorem fprodsplitdc 11537

Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 11538 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitdc.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplitdc.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplitdc.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitdc.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
fprodsplitdc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitdc	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3525	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
2	1	prodeq2i 11503	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
3		ssun1 3285	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
4		fprodsplitdc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
5	3, 4	sseqtrrid 3193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
6	1	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
7	5	sselda 3142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
8		fprodsplitdc.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	6, 9	eqeltrd 2243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11		fprodsplitdc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
12		eldifn 3245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12	iffalsed 3530	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14	13	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
15		fprodsplitdc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
16	5, 10, 11, 14, 15	fprodssdc 11531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
17	2, 16	eqtr3id 2213	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
18		iftrue 3525	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
19	18	prodeq2i 11503	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
20		ssun2 3286	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20, 4	sseqtrrid 3193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
22	18	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
23	21	sselda 3142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23, 8	syldan 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	22, 24	eqeltrd 2243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
26		fprodsplitdc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27		disj 3457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
28	26, 27	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
29	28	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
30	29	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
31	30	olcd 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
32		df-dc 825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
33	31, 32	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
34		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
35		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑈)
36	4	eleq2d 2236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
37	36	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
39		elun 3263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
40	38, 39	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
41	40	orcomd 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ 𝑗 ∈ 𝐴))
42	34, 41	ecased 1339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐵)
43	42	orcd 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
44	43, 32	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
45		exmiddc 826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
46	45	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
47	33, 44, 46	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
48	47	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → DECID 𝑗 ∈ 𝐵))
49	48	ralimdva 2533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵))
50	11, 49	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
51		eldifn 3245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
52	51	iffalsed 3530	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
53	52	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
54	21, 25, 50, 53, 15	fprodssdc 11531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
55	19, 54	eqtr3id 2213	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
56	17, 55	oveq12d 5860	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
57		1cnd 7915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
58		eleq1w 2227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
59	58	dcbid 828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
60	59	cbvralv 2692	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
61	11, 60	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
62	61	r19.21bi 2554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
63	8, 57, 62	ifcldcd 3555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
64		eleq1w 2227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
65	64	dcbid 828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
66	65	cbvralv 2692	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
67	50, 66	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
68	67	r19.21bi 2554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
69	8, 57, 68	ifcldcd 3555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
70	15, 63, 69	fprodmul 11532	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
71	4	eleq2d 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
72		elun 3263	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
73	71, 72	bitrdi 195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
74	73	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
75		disjel 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
76	26, 75	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
77	76	iffalsed 3530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
78	6, 77	oveq12d 5860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
79	9	mulid1d 7916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
80	78, 79	eqtrd 2198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
81	76	ex 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
82	81	con2d 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
83	82	imp 123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
84	83	iffalsed 3530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
85	84, 22	oveq12d 5860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
86	24	mulid2d 7917	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
87	85, 86	eqtrd 2198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
88	80, 87	jaodan 787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
89	74, 88	syldan 280	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
90	89	prodeq2dv 11507	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
91	56, 70, 90	3eqtr2rd 2205	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   ∖ cdif 3113   ∪ cun 3114   ∩ cin 3115  ∅c0 3409  ifcif 3520  (class class class)co 5842  Fincfn 6706  ℂcc 7751  1c1 7754   · cmul 7758  ∏cprod 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-proddc 11492

This theorem is referenced by:  fprodsplit  11538  fprodm1  11539  fprod1p  11540  fprodunsn  11545  fprodeq0  11558