Theorem fprodsplitdc 11778

Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 11779 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitdc.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplitdc.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplitdc.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitdc.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
fprodsplitdc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitdc	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3567	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
2	1	prodeq2i 11744	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
3		ssun1 3327	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
4		fprodsplitdc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
5	3, 4	sseqtrrid 3235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
6	1	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
7	5	sselda 3184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
8		fprodsplitdc.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	6, 9	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11		fprodsplitdc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
12		eldifn 3287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12	iffalsed 3572	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
15		fprodsplitdc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
16	5, 10, 11, 14, 15	fprodssdc 11772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
17	2, 16	eqtr3id 2243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
18		iftrue 3567	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
19	18	prodeq2i 11744	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
20		ssun2 3328	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20, 4	sseqtrrid 3235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
22	18	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
23	21	sselda 3184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23, 8	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	22, 24	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
26		fprodsplitdc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27		disj 3500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
30	29	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐵)
31	30	olcd 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
32		df-dc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ 𝐴)
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑈)
36	4	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
39		elun 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ 𝑗 ∈ 𝐵))
41	40	orcomd 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ 𝑗 ∈ 𝐴))
42	34, 41	ecased 1360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐵)
43	42	orcd 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐵))
44	43, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
45		exmiddc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝐴))
47	33, 44, 46	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) ∧ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
48	47	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → DECID 𝑗 ∈ 𝐵))
49	48	ralimdva 2564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵))
50	11, 49	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
51		eldifn 3287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
52	51	iffalsed 3572	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
53	52	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
54	21, 25, 50, 53, 15	fprodssdc 11772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
55	19, 54	eqtr3id 2243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
56	17, 55	oveq12d 5943	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
57		1cnd 8059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
58		eleq1w 2257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
59	58	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
60	59	cbvralv 2729	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
61	11, 60	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
62	61	r19.21bi 2585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
63	8, 57, 62	ifcldcd 3598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
64		eleq1w 2257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
65	64	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐵))
66	65	cbvralv 2729	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑈 DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
67	50, 66	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
68	67	r19.21bi 2585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
69	8, 57, 68	ifcldcd 3598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
70	15, 63, 69	fprodmul 11773	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
71	4	eleq2d 2266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
72		elun 3305	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
73	71, 72	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
74	73	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
75		disjel 3506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
76	26, 75	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
77	76	iffalsed 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
78	6, 77	oveq12d 5943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
79	9	mulridd 8060	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
80	78, 79	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
81	76	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
82	81	con2d 625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
83	82	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
84	83	iffalsed 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
85	84, 22	oveq12d 5943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
86	24	mulid2d 8062	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
87	85, 86	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
88	80, 87	jaodan 798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
89	74, 88	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
90	89	prodeq2dv 11748	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
91	56, 70, 90	3eqtr2rd 2236	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156  ∅c0 3451  ifcif 3562  (class class class)co 5925  Fincfn 6808  ℂcc 7894  1c1 7897   · cmul 7901  ∏cprod 11732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-proddc 11733

This theorem is referenced by:  fprodsplit  11779  fprodm1  11780  fprod1p  11781  fprodunsn  11786  fprodeq0  11799