ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3cvg GIF version

Theorem fsum3cvg 11154
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isumrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fisumcvg.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg
Dummy variables 𝑛 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 isumrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 9342 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 seqex 10227 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
65a1i 9 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2139 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
8 eluzel2 9338 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
92, 8syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 eluzelz 9342 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1110adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 iftrue 3479 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
1312adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
14 isummo.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1513, 14eqeltrd 2216 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1615ex 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
1716adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
18 iffalse 3482 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
19 0cn 7765 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
2018, 19eqeltrdi 2230 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2120a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
22 isummo.dc . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
23 exmiddc 821 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
2422, 23syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
2517, 21, 24mpjaod 707 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
26 isummo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2726fvmpt2 5504 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2811, 25, 27syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2928, 25eqeltrd 2216 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
307, 9, 29serf 10254 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3130, 2ffvelrnd 5556 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
32 addid1 7907 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
3332adantl 275 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
342adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
35 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
3631adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
37 elfzuz 9809 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
38 eluzelz 9342 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3938adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
40 fisumcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
4140sseld 3096 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚𝐴𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
42 fznuz 9889 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
4341, 42syl6 33 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4443con2d 613 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚𝐴))
4544imp 123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚𝐴)
4639, 45eldifd 3081 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
47 fveqeq2 5430 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑚) = 0))
48 eldifi 3198 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
49 eldifn 3199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
5049, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
5150, 19eqeltrdi 2230 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5248, 51, 27syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
5352, 50eqtrd 2172 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
5447, 53vtoclga 2752 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 0)
5546, 54syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑚) = 0)
5637, 55sylan2 284 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 0)
5756adantlr 468 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 0)
58 fveq2 5421 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
5958eleq1d 2208 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
6029ralrimiva 2505 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6160ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
62 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6359, 61, 62rspcdva 2794 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
64 addcl 7752 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑧) ∈ ℂ)
6564adantl 275 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑚 + 𝑧) ∈ ℂ)
6633, 34, 35, 36, 57, 63, 65seq3id2 10289 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
6766eqcomd 2145 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
681, 4, 6, 31, 67climconst 11066 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  Vcvv 2686  cdif 3068  wss 3071  ifcif 3474   class class class wbr 3929  cmpt 3989  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630  cz 9061  cuz 9333  ...cfz 9797  seqcseq 10225  cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-fz 9798  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055
This theorem is referenced by:  summodclem2a  11157  fsum3cvg2  11170
  Copyright terms: Public domain W3C validator