ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3cvg GIF version

Theorem fsum3cvg 10830
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isumrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fisumcvg.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg
Dummy variables 𝑛 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2089 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 isumrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 9091 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 seqex 9920 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
65a1i 9 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2089 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
8 eluzel2 9087 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
92, 8syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 eluzelz 9091 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1110adantl 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 iftrue 3404 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
1312adantl 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
14 isummo.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1513, 14eqeltrd 2165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1615ex 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
1716adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
18 iffalse 3407 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
19 0cn 7543 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
2018, 19syl6eqel 2179 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2120a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
22 isummo.dc . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
23 exmiddc 783 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
2422, 23syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
2517, 21, 24mpjaod 674 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
26 isummo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2726fvmpt2 5401 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2811, 25, 27syl2anc 404 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2928, 25eqeltrd 2165 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
307, 9, 29serf 9963 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3130, 2ffvelrnd 5451 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
32 addid1 7683 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
3332adantl 272 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
342adantr 271 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
35 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
3631adantr 271 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
37 elfzuz 9499 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
38 eluzelz 9091 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3938adantl 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
40 fisumcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
4140sseld 3027 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚𝐴𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
42 fznuz 9579 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
4341, 42syl6 33 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4443con2d 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚𝐴))
4544imp 123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚𝐴)
4639, 45eldifd 3012 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
47 fveqeq2 5329 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑚) = 0))
48 eldifi 3125 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
49 eldifn 3126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
5049, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
5150, 19syl6eqel 2179 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5248, 51, 27syl2anc 404 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
5352, 50eqtrd 2121 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
5447, 53vtoclga 2688 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 0)
5546, 54syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑚) = 0)
5637, 55sylan2 281 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 0)
5756adantlr 462 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 0)
58 fveq2 5320 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
5958eleq1d 2157 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
6029ralrimiva 2447 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6160ad2antrr 473 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
62 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6359, 61, 62rspcdva 2730 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
64 addcl 7530 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑧) ∈ ℂ)
6564adantl 272 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑚 + 𝑧) ∈ ℂ)
6633, 34, 35, 36, 57, 63, 65seq3id2 10003 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
6766eqcomd 2094 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
681, 4, 6, 31, 67climconst 10741 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 665  DECID wdc 781   = wceq 1290  wcel 1439  wral 2360  Vcvv 2622  cdif 2999  wss 3002  ifcif 3399   class class class wbr 3853  cmpt 3907  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc 7411  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416  cz 8813  cuz 9082  ...cfz 9487  seqcseq 9915  cli 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-rp 9198  df-fz 9488  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-cj 10339  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730
This theorem is referenced by:  fsum3cvg2  10850
  Copyright terms: Public domain W3C validator