Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2177 |
. 2
β’
(β€β₯βπ) = (β€β₯βπ) |
2 | | isumrb.3 |
. . 3
β’ (π β π β (β€β₯βπ)) |
3 | | eluzelz 9536 |
. . 3
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
4 | 2, 3 | syl 14 |
. 2
β’ (π β π β β€) |
5 | | seqex 10446 |
. . 3
β’ seqπ( + , πΉ) β V |
6 | 5 | a1i 9 |
. 2
β’ (π β seqπ( + , πΉ) β V) |
7 | | eqid 2177 |
. . . 4
β’
(β€β₯βπ) = (β€β₯βπ) |
8 | | eluzel2 9532 |
. . . . 5
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
9 | 2, 8 | syl 14 |
. . . 4
β’ (π β π β β€) |
10 | | eluzelz 9536 |
. . . . . . 7
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
11 | 10 | adantl 277 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β β€) |
12 | | iftrue 3539 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) = π΅) |
13 | 12 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π΄) β if(π β π΄, π΅, 0) = π΅) |
14 | | isummo.2 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π΄) β π΅ β β) |
15 | 13, 14 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π΄) β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
16 | 15 | ex 115 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) β β)) |
17 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) β β)) |
18 | | iffalse 3542 |
. . . . . . . . 9
β’ (Β¬
π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) = 0) |
19 | | 0cn 7948 |
. . . . . . . . 9
β’ 0 β
β |
20 | 18, 19 | eqeltrdi 2268 |
. . . . . . . 8
β’ (Β¬
π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
21 | 20 | a1i 9 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (Β¬ π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) β β)) |
22 | | isummo.dc |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β DECID
π β π΄) |
23 | | exmiddc 836 |
. . . . . . . 8
β’
(DECID π β π΄ β (π β π΄ β¨ Β¬ π β π΄)) |
24 | 22, 23 | syl 14 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (π β π΄ β¨ Β¬ π β π΄)) |
25 | 17, 21, 24 | mpjaod 718 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
26 | | isummo.1 |
. . . . . . 7
β’ πΉ = (π β β€ β¦ if(π β π΄, π΅, 0)) |
27 | 26 | fvmpt2 5599 |
. . . . . 6
β’ ((π β β€ β§ if(π β π΄, π΅, 0) β β) β (πΉβπ) = if(π β π΄, π΅, 0)) |
28 | 11, 25, 27 | syl2anc 411 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (πΉβπ) = if(π β π΄, π΅, 0)) |
29 | 28, 25 | eqeltrd 2254 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (πΉβπ) β β) |
30 | 7, 9, 29 | serf 10473 |
. . 3
β’ (π β seqπ( + , πΉ):(β€β₯βπ)βΆβ) |
31 | 30, 2 | ffvelcdmd 5652 |
. 2
β’ (π β (seqπ( + , πΉ)βπ) β β) |
32 | | addid1 8094 |
. . . . 5
β’ (π β β β (π + 0) = π) |
33 | 32 | adantl 277 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β β) β (π + 0) = π) |
34 | 2 | adantr 276 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β (β€β₯βπ)) |
35 | | simpr 110 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β (β€β₯βπ)) |
36 | 31 | adantr 276 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (seqπ( + , πΉ)βπ) β β) |
37 | | elfzuz 10020 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π + 1)...π) β π β (β€β₯β(π + 1))) |
38 | | eluzelz 9536 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β π β β€) |
39 | 38 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
β€) |
40 | | fisumcvg.4 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β (π...π)) |
41 | 40 | sseld 3154 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π β π΄ β π β (π...π))) |
42 | | fznuz 10101 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π...π) β Β¬ π β (β€β₯β(π + 1))) |
43 | 41, 42 | syl6 33 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β π΄ β Β¬ π β (β€β₯β(π + 1)))) |
44 | 43 | con2d 624 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β (β€β₯β(π + 1)) β Β¬ π β π΄)) |
45 | 44 | imp 124 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β Β¬ π β π΄) |
46 | 39, 45 | eldifd 3139 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β (β€ β π΄)) |
47 | | fveqeq2 5524 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β ((πΉβπ) = 0 β (πΉβπ) = 0)) |
48 | | eldifi 3257 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (β€ β π΄) β π β β€) |
49 | | eldifn 3258 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (β€ β π΄) β Β¬ π β π΄) |
50 | 49, 18 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (β€ β π΄) β if(π β π΄, π΅, 0) = 0) |
51 | 50, 19 | eqeltrdi 2268 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (β€ β π΄) β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
52 | 48, 51, 27 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (β€ β π΄) β (πΉβπ) = if(π β π΄, π΅, 0)) |
53 | 52, 50 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β€ β π΄) β (πΉβπ) = 0) |
54 | 47, 53 | vtoclga 2803 |
. . . . . . 7
β’ (π β (β€ β π΄) β (πΉβπ) = 0) |
55 | 46, 54 | syl 14 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (πΉβπ) = 0) |
56 | 37, 55 | sylan2 286 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β ((π + 1)...π)) β (πΉβπ) = 0) |
57 | 56 | adantlr 477 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β ((π + 1)...π)) β (πΉβπ) = 0) |
58 | | fveq2 5515 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
59 | 58 | eleq1d 2246 |
. . . . 5
β’ (π = π β ((πΉβπ) β β β (πΉβπ) β β)) |
60 | 29 | ralrimiva 2550 |
. . . . . 6
β’ (π β βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β β) |
61 | 60 | ad2antrr 488 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β
(β€β₯βπ)(πΉβπ) β β) |
62 | | simpr 110 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β (β€β₯βπ)) |
63 | 59, 61, 62 | rspcdva 2846 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β (β€β₯βπ)) β (πΉβπ) β β) |
64 | | addcl 7935 |
. . . . 5
β’ ((π β β β§ π§ β β) β (π + π§) β β) |
65 | 64 | adantl 277 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β β β§ π§ β β)) β (π + π§) β β) |
66 | 33, 34, 35, 36, 57, 63, 65 | seq3id2 10508 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (seqπ( + , πΉ)βπ) = (seqπ( + , πΉ)βπ)) |
67 | 66 | eqcomd 2183 |
. 2
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (seqπ( + , πΉ)βπ) = (seqπ( + , πΉ)βπ)) |
68 | 1, 4, 6, 31, 67 | climconst 11297 |
1
β’ (π β seqπ( + , πΉ) β (seqπ( + , πΉ)βπ)) |