Theorem fproddccvg 12258

Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrbdc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
prodrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fproddccvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fproddccvg

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		prodrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 9863	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		seqex 10811	. . 3 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
7		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		eluzel2 9858	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	2, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		iftrue 3627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
14		prodmo.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
17		iffalse 3630	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
18		ax-1cn 8220	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	17, 18	eqeltrdi 2323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
21		prodrbdc.dc	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
22		exmiddc 844	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
24	16, 20, 23	mpjaodan 806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
25		prodmo.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
26	25	fvmpt2 5761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
27	11, 24, 26	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
28	27, 24	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	7, 9, 28	prodf 12224	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
30	29, 2	ffvelcdmd 5813	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
31		mulrid 8271	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
32	31	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
33	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
35	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
36	28	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	7, 35, 36	prodf 12224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
38	37, 33	ffvelcdmd 5813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
39		elfzuz 10355	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
40		eluzelz 9863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
41	40	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
42		fprodcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
43	42	sseld 3237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
44		fznuz 10436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
45	43, 44	syl6 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
46	45	con2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
47	46	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
48	41, 47	eldifd 3221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
49		fveqeq2 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) = 1 ↔ (𝐹‘𝑚) = 1))
50		eldifi 3341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
51		eldifn 3342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
52	51, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
53	52, 18	eqeltrdi 2323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
54	50, 53, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
55	54, 52	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = 1)
56	49, 55	vtoclga 2881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑚) = 1)
57	48, 56	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑚) = 1)
58	39, 57	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 1)
59	58	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 1)
60		fveq2 5670	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
61	60	eleq1d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
62	28	ralrimiva 2615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
63	62	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
64		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
65	61, 63, 64	rspcdva 2926	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
66		mulcl 8254	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑣) ∈ ℂ)
67	66	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑣) ∈ ℂ)
68	32, 33, 34, 38, 59, 65, 67	seq3id2 10888	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
69	68	eqcomd 2238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
70	1, 4, 6, 30, 69	climconst 11975	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2813   ∖ cdif 3208   ⊆ wss 3211  ifcif 3620   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  seqcseq 10809   ⇝ cli 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964

This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  12262