ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fproddccvg GIF version

Theorem fproddccvg 11582
Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
prodmo.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
prodrbdc.dc ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ DECID π‘˜ ∈ 𝐴)
prodrb.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
fprodcvg.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fproddccvg (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fproddccvg
Dummy variables 𝑛 𝑣 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
2 prodrb.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3 eluzelz 9539 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42, 3syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 seqex 10449 . . 3 seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ V
65a1i 9 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2177 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
8 eluzel2 9535 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
92, 8syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
10 eluzelz 9539 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1110adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
12 iftrue 3541 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 𝐡)
1312adantl 277 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 𝐡)
14 prodmo.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1514adantlr 477 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1613, 15eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
17 iffalse 3544 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 1)
18 ax-1cn 7906 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
1917, 18eqeltrdi 2268 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
2019adantl 277 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
21 prodrbdc.dc . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ DECID π‘˜ ∈ 𝐴)
22 exmiddc 836 . . . . . . . 8 (DECID π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
2416, 20, 23mpjaodan 798 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
25 prodmo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2625fvmpt2 5601 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2711, 24, 26syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2827, 24eqeltrd 2254 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
297, 9, 28prodf 11548 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
3029, 2ffvelcdmd 5654 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
31 mulrid 7956 . . . . 5 (π‘š ∈ β„‚ β†’ (π‘š Β· 1) = π‘š)
3231adantl 277 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘š Β· 1) = π‘š)
332adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
34 simpr 110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
359adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3628adantlr 477 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
377, 35, 36prodf 11548 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
3837, 33ffvelcdmd 5654 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
39 elfzuz 10023 . . . . . 6 (π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
40 eluzelz 9539 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„€)
4140adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘š ∈ β„€)
42 fprodcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
4342sseld 3156 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ π‘š ∈ (𝑀...𝑁)))
44 fznuz 10104 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑁) β†’ Β¬ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
4543, 44syl6 33 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
4645con2d 624 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
4746imp 124 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
4841, 47eldifd 3141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘š ∈ (β„€ βˆ– 𝐴))
49 fveqeq2 5526 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 1 ↔ (πΉβ€˜π‘š) = 1))
50 eldifi 3259 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
51 eldifn 3260 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)
5251, 17syl 14 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 1)
5352, 18eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
5450, 53, 26syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
5554, 52eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 1)
5649, 55vtoclga 2805 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5748, 56syl 14 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5839, 57sylan2 286 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5958adantlr 477 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
60 fveq2 5517 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
6160eleq1d 2246 . . . . 5 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚))
6228ralrimiva 2550 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6362ad2antrr 488 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
64 simpr 110 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6561, 63, 64rspcdva 2848 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
66 mulcl 7940 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (π‘š Β· 𝑣) ∈ β„‚)
6766adantl 277 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (π‘š Β· 𝑣) ∈ β„‚)
6832, 33, 34, 38, 59, 65, 67seq3id2 10511 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
6968eqcomd 2183 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
701, 4, 6, 30, 69climconst 11300 1 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2739   βˆ– cdif 3128   βŠ† wss 3131  ifcif 3536   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   Β· cmul 7818  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  ...cfz 10010  seqcseq 10447   ⇝ cli 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289
This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  11586
  Copyright terms: Public domain W3C validator