ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fproddccvg GIF version

Theorem fproddccvg 11469
Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrbdc.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodcvg.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fproddccvg (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fproddccvg
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 9448 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 seqex 10346 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
65a1i 9 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2157 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
8 eluzel2 9444 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
92, 8syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 eluzelz 9448 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1110adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 iftrue 3510 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
1312adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
14 prodmo.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514adantlr 469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2234 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
17 iffalse 3513 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
18 ax-1cn 7825 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
1917, 18eqeltrdi 2248 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
2019adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
21 prodrbdc.dc . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
22 exmiddc 822 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
2416, 20, 23mpjaodan 788 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
25 prodmo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2625fvmpt2 5551 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2711, 24, 26syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2827, 24eqeltrd 2234 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
297, 9, 28prodf 11435 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3029, 2ffvelrnd 5603 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
31 mulid1 7875 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
3231adantl 275 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
332adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
34 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
359adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3628adantlr 469 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
377, 35, 36prodf 11435 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3837, 33ffvelrnd 5603 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
39 elfzuz 9924 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
40 eluzelz 9448 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
4140adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
42 fprodcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
4342sseld 3127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚𝐴𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
44 fznuz 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
4543, 44syl6 33 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4645con2d 614 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚𝐴))
4746imp 123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚𝐴)
4841, 47eldifd 3112 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
49 fveqeq2 5477 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑚) = 1))
50 eldifi 3229 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
51 eldifn 3230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
5251, 17syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
5352, 18eqeltrdi 2248 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
5450, 53, 26syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
5554, 52eqtrd 2190 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
5649, 55vtoclga 2778 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 1)
5748, 56syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑚) = 1)
5839, 57sylan2 284 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 1)
5958adantlr 469 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 1)
60 fveq2 5468 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
6160eleq1d 2226 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
6228ralrimiva 2530 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6362ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
64 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6561, 63, 64rspcdva 2821 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
66 mulcl 7859 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑣) ∈ ℂ)
6766adantl 275 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑣) ∈ ℂ)
6832, 33, 34, 38, 59, 65, 67seq3id2 10408 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
6968eqcomd 2163 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
701, 4, 6, 30, 69climconst 11187 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  Vcvv 2712  cdif 3099  wss 3102  ifcif 3505   class class class wbr 3965  cmpt 4025  cfv 5170  (class class class)co 5824  cc 7730  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737  cz 9167  cuz 9439  ...cfz 9912  seqcseq 10344  cli 11175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-fz 9913  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176
This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  11473
  Copyright terms: Public domain W3C validator