Theorem ercl2 6714

Description: Elementhood in the field of an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ersym.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
ersym.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ercl2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem ercl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersym.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
2		ersym.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3	1, 2	ersym 6713	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)
4	1, 3	ercl 6712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088   Er wer 6698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-er 6701

This theorem is referenced by:  qliftfun  6785  nqnq0pi  7657  qusgrp2  13699