Theorem ersymb 6694

Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ersymb.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ersymb	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Proof of Theorem ersymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersymb.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝑅 Er 𝑋)
3		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐵)
4	2, 3	ersym 6692	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐵𝑅𝐴)
5	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑅𝐴) → 𝑅 Er 𝑋)
6		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑅𝐴) → 𝐵𝑅𝐴)
7	5, 6	ersym 6692	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑅𝐴) → 𝐴𝑅𝐵)
8	4, 7	impbida 598	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   class class class wbr 4083   Er wer 6677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-er 6680

This theorem is referenced by:  ercnv  6701  erth  6726  erth2  6727  iinerm  6754  ensymb  6932