Theorem ersymb 6821

Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ersymb.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ersymb	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Proof of Theorem ersymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersymb.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝑅 Er 𝑋)
3		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐵)
4	2, 3	ersym 6819	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐵𝑅𝐴)
5	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑅𝐴) → 𝑅 Er 𝑋)
6		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑅𝐴) → 𝐵𝑅𝐴)
7	5, 6	ersym 6819	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑅𝐴) → 𝐴𝑅𝐵)
8	4, 7	impbida 604	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   class class class wbr 4130   Er wer 6804

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-er 6807

This theorem is used by:  ercnv  6828  erth  6853  erth2  6854  iinerm  6881  ensymb  7067