Theorem ercl 6503

Description: Elementhood in the field of an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ersym.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
ersym.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ercl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem ercl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersym.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
2		errel 6501	. . . 4 ⊢ (𝑅 Er 𝑋 → Rel 𝑅)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
4		ersym.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
5		releldm 4833	. . 3 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
7		erdm 6502	. . 3 ⊢ (𝑅 Er 𝑋 → dom 𝑅 = 𝑋)
8	1, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑋)
9	6, 8	eleqtrd 2243	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  dom cdm 4598  Rel wrel 4603   Er wer 6489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605  df-dm 4608  df-er 6492

This theorem is referenced by:  ercl2  6505  erthi  6538  qliftfun  6574