ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gzmulcl GIF version

Theorem gzmulcl 12378
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i])

Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 12372 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 gzcn 12372 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mulcl 7940 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3syl2an 289 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5 remul 10883 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
61, 2, 5syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
7 elgz 12371 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค))
87simp2bi 1013 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
9 elgz 12371 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค))
109simp2bi 1013 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
11 zmulcl 9308 . . . . 5 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
128, 10, 11syl2an 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
137simp3bi 1014 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
149simp3bi 1014 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
15 zmulcl 9308 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
1613, 14, 15syl2an 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
1712, 16zsubcld 9382 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
186, 17eqeltrd 2254 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
19 immul 10890 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
201, 2, 19syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
21 zmulcl 9308 . . . . 5 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
228, 14, 21syl2an 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
23 zmulcl 9308 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
2413, 10, 23syl2an 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
2522, 24zaddcld 9381 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
2620, 25eqeltrd 2254 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
27 elgz 12371 . 2 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i] โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1181 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i])
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811   + caddc 7816   ยท cmul 7818   โˆ’ cmin 8130  โ„คcz 9255  โ„œcre 10851  โ„‘cim 10852  โ„ค[i]cgz 12369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-gz 12370
This theorem is referenced by:  gzreim  12379  mul4sqlem  12393  gzsubrg  13515  mul2sq  14502  2sqlem3  14503
  Copyright terms: Public domain W3C validator