Theorem gzcjcl 12545

Description: The gaussian integers are closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcjcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (∗‘𝐴) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12541	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	cjcld 11105	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1	recjd 11114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘(∗‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
4		elgz 12540	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
5	4	simp2bi 1015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	3, 5	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘(∗‘𝐴)) ∈ ℤ)
7	1	imcjd 11115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
8	4	simp3bi 1016	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9	8	znegcld 9450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
10	7, 9	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘(∗‘𝐴)) ∈ ℤ)
11		elgz 12540	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℤ[i] ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(∗‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(∗‘𝐴)) ∈ ℤ))
12	2, 6, 10, 11	syl3anbrc 1183	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (∗‘𝐴) ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  ℂcc 7877  -cneg 8198  ℤcz 9326  ∗ccj 11004  ℜcre 11005  ℑcim 11006  ℤ[i]cgz 12538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-z 9327  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-gz 12539

This theorem is referenced by:  mul4sqlem  12562