Theorem gzsubrg 13616

Description: The gaussian integers form a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzsubrg	⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)

Proof of Theorem gzsubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12373	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ[i] → 𝑥 ∈ ℂ)
2		gzaddcl 12378	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑦 ∈ ℤ[i]) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ[i])
3		gznegcl 12376	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ[i] → -𝑥 ∈ ℤ[i])
4		1z 9282	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		zgz 12374	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ[i]
7		gzmulcl 12379	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑦 ∈ ℤ[i]) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ[i])
8	1, 2, 3, 6, 7	cnsubrglem 13614	1 ⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  1c1 7815  ℤcz 9256  ℤ[i]cgz 12370  SubRingcsubrg 13344  ℂ_fldccnfld 13595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-addf 7936  ax-mulf 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-dec 9388  df-uz 9532  df-fz 10012  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-gz 12371  df-struct 12467  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-iress 12473  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-starv 12554  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-grp 12886  df-minusg 12887  df-subg 13036  df-cmn 13096  df-mgp 13137  df-ur 13149  df-ring 13187  df-cring 13188  df-subrg 13346  df-icnfld 13596

This theorem is referenced by: (None)