Theorem gzsubrg 14617

Description: The gaussian integers form a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzsubrg	⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)

Proof of Theorem gzsubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12965	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ[i] → 𝑥 ∈ ℂ)
2		gzaddcl 12970	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑦 ∈ ℤ[i]) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ[i])
3		gznegcl 12968	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ[i] → -𝑥 ∈ ℤ[i])
4		1z 9507	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		zgz 12966	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ[i]
7		gzmulcl 12971	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑦 ∈ ℤ[i]) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ[i])
8	1, 2, 3, 6, 7	cnsubrglem 14615	1 ⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5325  1c1 8035  ℤcz 9481  ℤ[i]cgz 12962  SubRingcsubrg 14252  ℂ_fldccnfld 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152  ax-addf 8156  ax-mulf 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-tp 3676  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-5 9207  df-6 9208  df-7 9209  df-8 9210  df-9 9211  df-n0 9405  df-z 9482  df-dec 9614  df-uz 9758  df-rp 9891  df-fz 10246  df-cj 11422  df-re 11423  df-im 11424  df-abs 11579  df-gz 12963  df-struct 13104  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-sets 13109  df-iress 13110  df-plusg 13193  df-mulr 13194  df-starv 13195  df-tset 13199  df-ple 13200  df-ds 13202  df-unif 13203  df-0g 13361  df-topgen 13363  df-mgm 13459  df-sgrp 13505  df-mnd 13520  df-grp 13606  df-minusg 13607  df-subg 13777  df-cmn 13893  df-mgp 13955  df-ur 13994  df-ring 14032  df-cring 14033  df-subrg 14254  df-bl 14581  df-mopn 14582  df-fg 14584  df-metu 14585  df-cnfld 14592

This theorem is referenced by: (None)