ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4sqlem4 GIF version

Theorem 4sqlem4 12356
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฃ,๐‘›,๐ด,๐‘ข   ๐‘†,๐‘›,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘ข,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem 4sqlem4
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . 4 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
214sqlem2 12353 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
3 gzreim 12343 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค[i])
43adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค[i])
5 gzreim 12343 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ค[i])
65adantl 277 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ค[i])
7 gzcn 12336 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
83, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
98absvalsq2d 11159 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2)))
10 zre 9228 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
11 zre 9228 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
12 crre 10833 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = ๐‘Ž)
1310, 11, 12syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = ๐‘Ž)
1413oveq1d 5880 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) = (๐‘Žโ†‘2))
15 crim 10834 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = ๐‘)
1610, 11, 15syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = ๐‘)
1716oveq1d 5880 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
1814, 17oveq12d 5883 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2)) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
199, 18eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
20 gzcn 12336 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„‚)
215, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„‚)
2221absvalsq2d 11159 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)))
23 zre 9228 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
24 zre 9228 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
25 crre 10833 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))) = ๐‘)
2623, 24, 25syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))) = ๐‘)
2726oveq1d 5880 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
28 crim 10834 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))) = ๐‘‘)
2923, 24, 28syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))) = ๐‘‘)
3029oveq1d 5880 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) = (๐‘‘โ†‘2))
3127, 30oveq12d 5883 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))
3222, 31eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))
3319, 32oveqan12d 5884 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
3433eqcomd 2181 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)))
35 fveq2 5507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ข = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (absโ€˜๐‘ข) = (absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))))
3635oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2))
3736oveq1d 5880 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
3837eqeq2d 2187 . . . . . . . 8 (๐‘ข = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†” (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
39 fveq2 5507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฃ) = (absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))))
4039oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2))
4140oveq2d 5881 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โ†’ (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)))
4241eqeq2d 2187 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โ†’ ((((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†” (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2))))
4338, 42rspc2ev 2854 . . . . . . 7 (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
444, 6, 34, 43syl3anc 1238 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
45 eqeq1 2182 . . . . . . 7 (๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ (๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†” (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
46452rexbidv 2500 . . . . . 6 (๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
4744, 46syl5ibrcom 157 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
4847rexlimdvva 2600 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
4948rexlimivv 2598 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
502, 49sylbi 121 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
5114sqlem4a 12355 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
52 eleq1a 2247 . . . 4 ((((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†))
5351, 52syl 14 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†))
5453rexlimivv 2598 . 2 (โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
5550, 54impbii 126 1 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2146  {cab 2161  โˆƒwrex 2454  โ€˜cfv 5208  (class class class)co 5865  โ„‚cc 7784  โ„cr 7785  ici 7788   + caddc 7789   ยท cmul 7791  2c2 8941  โ„คcz 9224  โ†‘cexp 10487  โ„œcre 10816  โ„‘cim 10817  abscabs 10973  โ„ค[i]cgz 12333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-rp 9623  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-gz 12334
This theorem is referenced by:  mul4sq  12358
  Copyright terms: Public domain W3C validator