Theorem gznegcl 12569

Description: The gaussian integers are closed under negation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gznegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gznegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negcld 8341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1	renegd 11136	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
4		elgz 12565	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
5	4	simp2bi 1015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	5	znegcld 9467	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℤ)
8	1	imnegd 11137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
9	4	simp3bi 1016	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	znegcld 9467	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
11	8, 10	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘-𝐴) ∈ ℤ)
12		elgz 12565	. 2 ⊢ (-𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘-𝐴) ∈ ℤ))
13	2, 7, 11, 12	syl3anbrc 1183	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  ℂcc 7894  -cneg 8215  ℤcz 9343  ℜcre 11022  ℑcim 11023  ℤ[i]cgz 12563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-z 9344  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-gz 12564

This theorem is referenced by:  gzsubcl  12574  gzsubrg  14214