Theorem gzabssqcl 12307

Description: The squared norm of a gaussian integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzabssqcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gzabssqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12298	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	absvalsq2d 11121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
3		elgz 12297	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
4	3	simp2bi 1003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
5		zsqcl2 10528	. . . 4 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
7	3	simp3bi 1004	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
8		zsqcl2 10528	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
10	6, 9	nn0addcld 9167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℕ0)
11	2, 10	eqeltrd 2242	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  ℂcc 7747   + caddc 7752  2c2 8904  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187  ↑cexp 10450  ℜcre 10778  ℑcim 10779  abscabs 10935  ℤ[i]cgz 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-rp 9586  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-gz 12296

This theorem is referenced by:  mul4sq  12320