Theorem 2sqlem2 15788

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))

Assertion

Ref	Expression
2sqlem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2	1	2sqlem1 15787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2))
3		elgz 12889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ))
4	3	simp2bi 1037	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
5	3	simp3bi 1038	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
6		gzcn 12890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → 𝑧 ∈ ℂ)
7	6	absvalsq2d 11689	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2)))
8		oveq1 6007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥↑2) = ((ℜ‘𝑧)↑2))
9	8	oveq1d 6015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)))
10	9	eqeq2d 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2))))
11		oveq1 6007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (𝑦↑2) = ((ℑ‘𝑧)↑2))
12	11	oveq2d 6016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2)))
13	12	eqeq2d 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2))))
14	10, 13	rspc2ev 2922	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
15	4, 5, 7, 14	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
16		eqeq1 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
17	16	2rexbidv 2555	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
18	15, 17	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
19	18	rexlimiv 2642	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
20	2, 19	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
21		gzreim 12897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℤ[i])
22		zcn 9447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
23		ax-icn 8090	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
24		zcn 9447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
25		mulcl 8122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
27		addcl 8120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
28	22, 26, 27	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
29	28	absvalsq2d 11689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) + ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)))
30		zre 9446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
31		zre 9446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
32		crre 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
34	33	oveq1d 6015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (𝑥↑2))
35		crim 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
37	36	oveq1d 6015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (𝑦↑2))
38	34, 37	oveq12d 6018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) + ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
39	29, 38	eqtr2d 2263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2))
40		fveq2 5626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (abs‘𝑧) = (abs‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
41	40	oveq1d 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((abs‘𝑧)↑2) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2))
42	41	rspceeqv 2925	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℤ[i] ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
43	21, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
44	1	2sqlem1 15787	. . . . 5 ⊢ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
45	43, 44	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆)
46		eleq1 2292	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆))
47	45, 46	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
48	47	rexlimivv 2654	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
49	20, 48	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ↦ cmpt 4144  ran crn 4719  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  ici 7997   + caddc 7998   · cmul 8000  2c2 9157  ℤcz 9442  ↑cexp 10755  ℜcre 11346  ℑcim 11347  abscabs 11503  ℤ[i]cgz 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-gz 12888

This theorem is referenced by:  2sqlem5  15792  2sqlem7  15794