Theorem zgz 13026

Description: An integer is a gaussian integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zgz	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem zgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9545	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		zre 9544	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rered 11609	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
5	3, 4	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	2	reim0d 11610	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) = 0)
7		0z 9551	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	6, 7	eqeltrdi 2322	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9		elgz 13024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
10	1, 5, 8, 9	syl3anbrc 1208	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  ℂcc 8090  0cc0 8092  ℤcz 9540  ℜcre 11480  ℑcim 11481  ℤ[i]cgz 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-2 9261  df-z 9541  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-gz 13023

This theorem is referenced by:  gzreim  13032  mul4sqlem  13046  4sqlem13m  13056  4sqlem19  13062  gzsubrg  14678  2sqlem9  15943  2sqlem10  15944