Theorem zgz 12373

Description: An integer is a gaussian integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zgz	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem zgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		zre 9259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rered 10980	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
5	3, 4	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	2	reim0d 10981	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) = 0)
7		0z 9266	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	6, 7	eqeltrdi 2268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9		elgz 12371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
10	1, 5, 8, 9	syl3anbrc 1181	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  ℂcc 7811  0cc0 7813  ℤcz 9255  ℜcre 10851  ℑcim 10852  ℤ[i]cgz 12369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980  df-z 9256  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-gz 12370

This theorem is referenced by:  gzreim  12379  mul4sqlem  12393  gzsubrg  13515  2sqlem9  14510  2sqlem10  14511