Theorem 2sqlem1 15809

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))

Assertion

Ref	Expression
2sqlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑥)↑2))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2	1	eleq2i 2296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)))
3		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (abs‘𝑤) = (abs‘𝑥))
4	3	oveq1d 6022	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑥)↑2))
5	4	cbvmptv 4180	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)) = (𝑥 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑥)↑2))
6	5	elrnmptg 4976	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ[i] ((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑥)↑2)))
7		gzcn 12911	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ[i] → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	abscld 11708	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ[i] → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8186	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ[i] → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
10	9	sqcld 10905	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
11	6, 10	mprg 2587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑥)↑2))
12	2, 11	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑥)↑2))

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ↦ cmpt 4145  ran crn 4720  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  2c2 9172  ↑cexp 10772  abscabs 11524  ℤ[i]cgz 12908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-gz 12909

This theorem is referenced by:  2sqlem2  15810  mul2sq  15811  2sqlem3  15812  2sqlem9  15819  2sqlem10  15820