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Theorem 2sqlem3 14033
Description: Lemma for 2sqlem5 14035. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2sqlem4.9 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem3 (𝜑𝑁𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 gzreim 12344 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
41, 2, 3syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
7 gzreim 12344 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
9 gzmulcl 12343 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i]) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
104, 8, 9syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
11 gzcn 12337 . . . . . 6 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
1210, 11syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
14 prmnn 12077 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1513, 14syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1615nncnd 8906 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1715nnap0d 8938 . . . . 5 (𝜑𝑃 # 0)
1812, 16, 17divclapd 8720 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ)
1915nnred 8905 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2019, 12, 17redivapd 10951 . . . . 5 (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
21 prmz 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2213, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
23 zsqcl 10560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
25 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2625nnzd 9347 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2726, 24zmulcld 9354 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) ∈ ℤ)
28 dvdsmul2 11789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
2922, 22, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
3016sqvald 10620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
3129, 30breqtrrd 4026 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃↑2))
32 dvdsmul2 11789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ) → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
3326, 24, 32syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
3422, 24, 27, 31, 33dvdstrd 11805 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
35 gzcn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
364, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
3736abscld 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3837recnd 7960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
39 gzcn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
408, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
4140abscld 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℝ)
4241recnd 7960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
4338, 42sqmuld 10635 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
441zred 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
452zred 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4644, 45crred 10953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
4746oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
4844, 45crimd 10954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
4948oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
5047, 49oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
5136absvalsq2d 11160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
52 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
5350, 51, 523eqtr4d 2218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝑁 · 𝑃))
545zred 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
556zred 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5654, 55crred 10953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
5756oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
5854, 55crimd 10954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
5958oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
6057, 59oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
6140absvalsq2d 11160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
62 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
6360, 61, 623eqtr4d 2218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = 𝑃)
6453, 63oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃))
6525nncnd 8906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6665, 16, 16mulassd 7955 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
6743, 64, 663eqtrd 2212 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
6836, 40absmuld 11171 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))))
6968oveq1d 5880 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
7030oveq2d 5881 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
7167, 69, 703eqtr4d 2218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃↑2)))
7234, 71breqtrrd 4026 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∥ ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
7312absvalsq2d 11160 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
74 elgz 12336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ))
7574simp2bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
7610, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
77 zsqcl 10560 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
7876, 77syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
7978zcnd 9349 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
8074simp3bi 1014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
8110, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
82 zsqcl 10560 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
8483zcnd 9349 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
8579, 84addcomd 8082 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
8673, 85eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
8772, 86breqtrd 4024 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
88 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
895zcnd 9349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
902zcnd 9349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
9189, 90mulcld 7952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
921zcnd 9349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
936zcnd 9349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9492, 93mulcld 7952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
9591, 94addcomd 8082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
9689, 90mulcomd 7953 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
9796oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
9895, 97eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
9988, 98breqtrd 4024 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
10036, 40immuld 10941 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
10146, 58oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐷))
10248, 56oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐶))
103101, 102oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
104100, 103eqtrd 2208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
10599, 104breqtrrd 4026 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
106 2nn 9053 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
107106a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
108 prmdvdsexp 12115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
10913, 81, 107, 108syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
110105, 109mpbird 167 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
111 dvdsadd2b 11815 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
11222, 78, 83, 110, 111syl112anc 1242 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
11387, 112mpbird 167 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
114 prmdvdsexp 12115 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
11513, 76, 107, 114syl3anc 1238 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
116113, 115mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
11715nnne0d 8937 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ≠ 0)
118 dvdsval2 11765 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
11922, 117, 76, 118syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
120116, 119mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
12120, 120eqeltrd 2252 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
12219, 12, 17imdivapd 10952 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
123 dvdsval2 11765 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
12422, 117, 81, 123syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
125105, 124mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
126122, 125eqeltrd 2252 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
127 elgz 12336 . . . 4 ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ↔ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ))
12818, 121, 126, 127syl3anbrc 1181 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i])
12912, 16, 17absdivapd 11172 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)))
13015nnnn0d 9202 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
131130nn0ge0d 9205 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
13219, 131absidd 11144 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝑃) = 𝑃)
133132oveq2d 5881 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
134129, 133eqtrd 2208 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
135134oveq1d 5880 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2))
13612abscld 11158 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℝ)
137136recnd 7960 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℂ)
138137, 16, 17sqdivapd 10636 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)))
13971oveq1d 5880 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)))
14015nnsqcld 10644 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℕ)
141140nncnd 8906 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
142140nnap0d 8938 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) # 0)
14365, 141, 142divcanap4d 8726 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
144139, 143eqtrd 2208 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
145135, 138, 1443eqtrrd 2213 . . 3 (𝜑𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
146 fveq2 5507 . . . . 5 (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → (abs‘𝑥) = (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)))
147146oveq1d 5880 . . . 4 (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → ((abs‘𝑥)↑2) = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
148147rspceeqv 2857 . . 3 (((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
149128, 145, 148syl2anc 411 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
150 2sq.1 . . 3 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
1511502sqlem1 14030 . 2 (𝑁𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
152149, 151sylibr 134 1 (𝜑𝑁𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  wne 2345  wrex 2454   class class class wbr 3998  cmpt 4059  ran crn 4621  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784  0cc0 7786  ici 7788   + caddc 7789   · cmul 7791   / cdiv 8602  cn 8892  2c2 8943  cz 9226  cexp 10489  cre 10817  cim 10818  abscabs 10974  cdvds 11762  cprime 12074  ℤ[i]cgz 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-gz 12335
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