Theorem 2sqlem3 15845

Description: Lemma for 2sqlem5 15847. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2sqlem4.9	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
2sqlem3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		gzreim 12951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
7		gzreim 12951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
9		gzmulcl 12950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i]) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
11		gzcn 12944	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
14		prmnn 12681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 9156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
17	15	nnap0d 9188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 # 0)
18	12, 16, 17	divclapd 8969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ)
19	15	nnred 9155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
20	19, 12, 17	redivapd 11534	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
21		prmz 12682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26, 24	zmulcld 9607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) ∈ ℤ)
28		dvdsmul2 12374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
30	16	sqvald 10931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
31	29, 30	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃↑2))
32		dvdsmul2 12374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ) → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
35		gzcn 12944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
37	36	abscld 11741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
38	37	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
39		gzcn 12944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
41	40	abscld 11741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
43	38, 42	sqmuld 10946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
44	1	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
45	2	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
46	44, 45	crred 11536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
47	46	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
48	44, 45	crimd 11537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
49	48	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
50	47, 49	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
51	36	absvalsq2d 11743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝑁 · 𝑃))
54	5	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
55	6	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
56	54, 55	crred 11536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
57	56	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
58	54, 55	crimd 11537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
59	58	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
60	57, 59	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
61	40	absvalsq2d 11743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = 𝑃)
64	53, 63	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃))
65	25	nncnd 9156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
66	65, 16, 16	mulassd 8202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
67	43, 64, 66	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
68	36, 40	absmuld 11754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))))
69	68	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
70	30	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃↑2)))
72	34, 71	breqtrrd 4116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
73	12	absvalsq2d 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
74		elgz 12943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ))
75	74	simp2bi 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
77		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
79	78	zcnd 9602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
80	74	simp3bi 1040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
82		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
84	83	zcnd 9602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
85	79, 84	addcomd 8329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
86	73, 85	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
87	72, 86	breqtrd 4114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
89	5	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
90	2	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
92	1	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	6	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
94	92, 93	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
95	91, 94	addcomd 8329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
96	89, 90	mulcomd 8200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
97	96	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
98	95, 97	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
99	88, 98	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
100	36, 40	immuld 11524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
101	46, 58	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐷))
102	48, 56	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐶))
103	101, 102	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
104	100, 103	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
105	99, 104	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
106		2nn 9304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
108		prmdvdsexp 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
111		dvdsadd2b 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
114		prmdvdsexp 12719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
117	15	nnne0d 9187	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
118		dvdsval2 12350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
121	20, 120	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
122	19, 12, 17	imdivapd 11535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
123		dvdsval2 12350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
126	122, 125	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
127		elgz 12943	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ↔ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ))
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i])
129	12, 16, 17	absdivapd 11755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)))
130	15	nnnn0d 9454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
131	130	nn0ge0d 9457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
132	19, 131	absidd 11727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑃) = 𝑃)
133	132	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
134	129, 133	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
135	134	oveq1d 6032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2))
136	12	abscld 11741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℝ)
137	136	recnd 8207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℂ)
138	137, 16, 17	sqdivapd 10947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)))
139	71	oveq1d 6032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)))
140	15	nnsqcld 10955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℕ)
141	140	nncnd 9156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
142	140	nnap0d 9188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) # 0)
143	65, 141, 142	divcanap4d 8975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
144	139, 143	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2269	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
146		fveq2 5639	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → (abs‘𝑥) = (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)))
147	146	oveq1d 6032	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → ((abs‘𝑥)↑2) = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
148	147	rspceeqv 2928	. . 3 ⊢ (((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
150		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
151	150	2sqlem1 15842	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
152	149, 151	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ran crn 4726  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031  ici 8033   + caddc 8034   · cmul 8036   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  ℤcz 9478  ↑cexp 10799  ℜcre 11400  ℑcim 11401  abscabs 11557   ∥ cdvds 12347  ℙcprime 12678  ℤ[i]cgz 12941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524  df-prm 12679  df-gz 12942

This theorem is referenced by:  2sqlem4  15846