Theorem 2sqlem3 13747

Description: Lemma for 2sqlem5 13749. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2sqlem4.9	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
2sqlem3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		gzreim 12331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
7		gzreim 12331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
9		gzmulcl 12330	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i]) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
10	4, 8, 9	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
11		gzcn 12324	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
14		prmnn 12064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 8892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
17	15	nnap0d 8924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 # 0)
18	12, 16, 17	divclapd 8707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ)
19	15	nnred 8891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
20	19, 12, 17	redivapd 10938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
21		prmz 12065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26, 24	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) ∈ ℤ)
28		dvdsmul2 11776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
29	22, 22, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
30	16	sqvald 10606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
31	29, 30	breqtrrd 4017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃↑2))
32		dvdsmul2 11776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ) → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
33	26, 24, 32	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 11792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
35		gzcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
37	36	abscld 11145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
38	37	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
39		gzcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
41	40	abscld 11145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℝ)
42	41	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
43	38, 42	sqmuld 10621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
44	1	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
45	2	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
46	44, 45	crred 10940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
47	46	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
48	44, 45	crimd 10941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
49	48	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
50	47, 49	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
51	36	absvalsq2d 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝑁 · 𝑃))
54	5	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
55	6	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
56	54, 55	crred 10940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
57	56	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
58	54, 55	crimd 10941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
59	58	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
60	57, 59	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
61	40	absvalsq2d 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = 𝑃)
64	53, 63	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃))
65	25	nncnd 8892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
66	65, 16, 16	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
67	43, 64, 66	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
68	36, 40	absmuld 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))))
69	68	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
70	30	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃↑2)))
72	34, 71	breqtrrd 4017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
73	12	absvalsq2d 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
74		elgz 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ))
75	74	simp2bi 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
77		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
79	78	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
80	74	simp3bi 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
82		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
84	83	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
85	79, 84	addcomd 8070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
86	73, 85	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
87	72, 86	breqtrd 4015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
89	5	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
90	2	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
92	1	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	6	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
94	92, 93	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
95	91, 94	addcomd 8070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
96	89, 90	mulcomd 7941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
97	96	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
98	95, 97	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
99	88, 98	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
100	36, 40	immuld 10928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
101	46, 58	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐷))
102	48, 56	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐶))
103	101, 102	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
104	100, 103	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
105	99, 104	breqtrrd 4017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
106		2nn 9039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
108		prmdvdsexp 12102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
110	105, 109	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
111		dvdsadd2b 11802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
113	87, 112	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
114		prmdvdsexp 12102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
116	113, 115	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
117	15	nnne0d 8923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
118		dvdsval2 11752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
120	116, 119	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
121	20, 120	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
122	19, 12, 17	imdivapd 10939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
123		dvdsval2 11752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
125	105, 124	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
126	122, 125	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
127		elgz 12323	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ↔ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ))
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i])
129	12, 16, 17	absdivapd 11159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)))
130	15	nnnn0d 9188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
131	130	nn0ge0d 9191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
132	19, 131	absidd 11131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑃) = 𝑃)
133	132	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
134	129, 133	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
135	134	oveq1d 5868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2))
136	12	abscld 11145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℝ)
137	136	recnd 7948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℂ)
138	137, 16, 17	sqdivapd 10622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)))
139	71	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)))
140	15	nnsqcld 10630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℕ)
141	140	nncnd 8892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
142	140	nnap0d 8924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) # 0)
143	65, 141, 142	divcanap4d 8713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
144	139, 143	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
146		fveq2 5496	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → (abs‘𝑥) = (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)))
147	146	oveq1d 5868	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → ((abs‘𝑥)↑2) = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
148	147	rspceeqv 2852	. . 3 ⊢ (((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
149	128, 145, 148	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
150		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
151	150	2sqlem1 13744	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
152	149, 151	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  ran crn 4612  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℤcz 9212  ↑cexp 10475  ℜcre 10804  ℑcim 10805  abscabs 10961   ∥ cdvds 11749  ℙcprime 12061  ℤ[i]cgz 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-gz 12322

This theorem is referenced by:  2sqlem4  13748