Theorem 2sqlem3 15990

Description: Lemma for 2sqlem5 15992. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2sqlem4.9	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
2sqlem3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		gzreim 13077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
7		gzreim 13077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
9		gzmulcl 13076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i]) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
11		gzcn 13070	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
14		prmnn 12807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 9251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
17	15	nnap0d 9283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 # 0)
18	12, 16, 17	divclapd 9064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ)
19	15	nnred 9250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
20	19, 12, 17	redivapd 11659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
21		prmz 12808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26, 24	zmulcld 9706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) ∈ ℤ)
28		dvdsmul2 12500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
29	22, 22, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
30	16	sqvald 11032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
31	29, 30	breqtrrd 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃↑2))
32		dvdsmul2 12500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ) → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
33	26, 24, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 12516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
35		gzcn 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
36	4, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
37	36	abscld 11866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
38	37	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
39		gzcn 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
40	8, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
41	40	abscld 11866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
43	38, 42	sqmuld 11047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
44	1	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
45	2	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
46	44, 45	crred 11661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
47	46	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
48	44, 45	crimd 11662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
49	48	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
50	47, 49	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
51	36	absvalsq2d 11868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝑁 · 𝑃))
54	5	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
55	6	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
56	54, 55	crred 11661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
57	56	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
58	54, 55	crimd 11662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
59	58	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
60	57, 59	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
61	40	absvalsq2d 11868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = 𝑃)
64	53, 63	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃))
65	25	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
66	65, 16, 16	mulassd 8297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
67	43, 64, 66	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
68	36, 40	absmuld 11879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))))
69	68	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
70	30	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃↑2)))
72	34, 71	breqtrrd 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
73	12	absvalsq2d 11868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
74		elgz 13069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ))
75	74	simp2bi 1040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
76	10, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
77		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
79	78	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
80	74	simp3bi 1041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
81	10, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
82		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
84	83	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
85	79, 84	addcomd 8424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
86	73, 85	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
87	72, 86	breqtrd 4135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
89	5	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
90	2	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
92	1	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	6	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
94	92, 93	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
95	91, 94	addcomd 8424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
96	89, 90	mulcomd 8295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
97	96	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
98	95, 97	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
99	88, 98	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
100	36, 40	immuld 11649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
101	46, 58	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐷))
102	48, 56	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐶))
103	101, 102	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
104	100, 103	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
105	99, 104	breqtrrd 4137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
106		2nn 9399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
108		prmdvdsexp 12845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
110	105, 109	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
111		dvdsadd2b 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
113	87, 112	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
114		prmdvdsexp 12845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
116	113, 115	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
117	15	nnne0d 9282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
118		dvdsval2 12476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
119	22, 117, 76, 118	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
120	116, 119	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
121	20, 120	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
122	19, 12, 17	imdivapd 11660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
123		dvdsval2 12476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
124	22, 117, 81, 123	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
125	105, 124	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
126	122, 125	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
127		elgz 13069	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ↔ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ))
128	18, 121, 126, 127	syl3anbrc 1208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i])
129	12, 16, 17	absdivapd 11880	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)))
130	15	nnnn0d 9553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
131	130	nn0ge0d 9556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
132	19, 131	absidd 11852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑃) = 𝑃)
133	132	oveq2d 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
134	129, 133	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
135	134	oveq1d 6065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2))
136	12	abscld 11866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℝ)
137	136	recnd 8302	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℂ)
138	137, 16, 17	sqdivapd 11048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)))
139	71	oveq1d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)))
140	15	nnsqcld 11056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℕ)
141	140	nncnd 9251	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
142	140	nnap0d 9283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) # 0)
143	65, 141, 142	divcanap4d 9070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
144	139, 143	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
145	135, 138, 144	3eqtrrd 2270	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
146		fveq2 5670	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → (abs‘𝑥) = (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)))
147	146	oveq1d 6065	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → ((abs‘𝑥)↑2) = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
148	147	rspceeqv 2939	. . 3 ⊢ (((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
149	128, 145, 148	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
150		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
151	150	2sqlem1 15987	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
152	149, 151	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∃wrex 2521   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ran crn 4750  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127  ici 8129   + caddc 8130   · cmul 8132   / cdiv 8946  ℕcn 9237  2c2 9288  ℤcz 9577  ↑cexp 10900  ℜcre 11525  ℑcim 11526  abscabs 11682   ∥ cdvds 12473  ℙcprime 12804  ℤ[i]cgz 13067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-prm 12805  df-gz 13068

This theorem is referenced by:  2sqlem4  15991