ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2sqlem3 GIF version

Theorem 2sqlem3 14434
Description: Lemma for 2sqlem5 14436. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem5.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2sqlem4.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
2sqlem4.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
2sqlem4.9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3 gzreim 12376 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค[i])
41, 2, 3syl2anc 411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค[i])
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
7 gzreim 12376 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค[i])
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค[i])
9 gzmulcl 12375 . . . . . . 7 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i])
104, 8, 9syl2anc 411 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i])
11 gzcn 12369 . . . . . 6 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
1210, 11syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
14 prmnn 12109 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1513, 14syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1615nncnd 8932 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1715nnap0d 8964 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ # 0)
1812, 16, 17divclapd 8746 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
1915nnred 8931 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
2019, 12, 17redivapd 10982 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) = ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ))
21 prmz 12110 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2213, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
23 zsqcl 10590 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
25 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2625nnzd 9373 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2726, 24zmulcld 9380 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
28 dvdsmul2 11820 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
2922, 22, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
3016sqvald 10650 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
3129, 30breqtrrd 4031 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘2))
32 dvdsmul2 11820 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)))
3326, 24, 32syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)))
3422, 24, 27, 31, 33dvdstrd 11836 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)))
35 gzcn 12369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
364, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3736abscld 11189 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3837recnd 7985 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
39 gzcn 12369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
408, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
4140abscld 11189 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„)
4241recnd 7985 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
4338, 42sqmuld 10665 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)))
441zred 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
452zred 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4644, 45crred 10984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)
4746oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
4844, 45crimd 10985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ต)
4948oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = (๐ตโ†‘2))
5047, 49oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
5136absvalsq2d 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2)))
52 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
5350, 51, 523eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
545zred 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
556zred 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
5654, 55crred 10984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) = ๐ถ)
5756oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = (๐ถโ†‘2))
5854, 55crimd 10985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) = ๐ท)
5958oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = (๐ทโ†‘2))
6057, 59oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
6140absvalsq2d 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)))
62 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
6360, 61, 623eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = ๐‘ƒ)
6453, 63oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)) = ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) ยท ๐‘ƒ))
6525nncnd 8932 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6665, 16, 16mulassd 7980 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
6743, 64, 663eqtrd 2214 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
6836, 40absmuld 11202 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = ((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))))
6968oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
7030oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
7167, 69, 703eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)))
7234, 71breqtrrd 4031 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
7312absvalsq2d 11191 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)))
74 elgz 12368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i] โ†” (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค))
7574simp2bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
7610, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
77 zsqcl 10590 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
7876, 77syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
7978zcnd 9375 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8074simp3bi 1014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
8110, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
82 zsqcl 10590 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8483zcnd 9375 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8579, 84addcomd 8107 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)) = (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)))
8673, 85eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)))
8772, 86breqtrd 4029 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)))
88 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)))
895zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
902zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9189, 90mulcld 7977 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
921zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
936zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
9492, 93mulcld 7977 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
9591, 94addcomd 8107 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
9689, 90mulcomd 7978 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ))
9796oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
9895, 97eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
9988, 98breqtrd 4029 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
10036, 40immuld 10972 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
10146, 58oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (๐ด ยท ๐ท))
10248, 56oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (๐ต ยท ๐ถ))
103101, 102oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
104100, 103eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
10599, 104breqtrrd 4031 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))))
106 2nn 9079 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
107106a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
108 prmdvdsexp 12147 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
10913, 81, 107, 108syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
110105, 109mpbird 167 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
111 dvdsadd2b 11846 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))))
11222, 78, 83, 110, 111syl112anc 1242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))))
11387, 112mpbird 167 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
114 prmdvdsexp 12147 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
11513, 76, 107, 114syl3anc 1238 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
116113, 115mpbid 147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))))
11715nnne0d 8963 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
118 dvdsval2 11796 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โ‰  0 โˆง (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โ†” ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค))
11922, 117, 76, 118syl3anc 1238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โ†” ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค))
120116, 119mpbid 147 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
12120, 120eqeltrd 2254 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
12219, 12, 17imdivapd 10983 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) = ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ))
123 dvdsval2 11796 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โ‰  0 โˆง (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โ†” ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค))
12422, 117, 81, 123syl3anc 1238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โ†” ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค))
125105, 124mpbid 147 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
126122, 125eqeltrd 2254 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
127 elgz 12368 . . . 4 ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค[i] โ†” ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค))
12818, 121, 126, 127syl3anbrc 1181 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค[i])
12912, 16, 17absdivapd 11203 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) = ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / (absโ€˜๐‘ƒ)))
13015nnnn0d 9228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
131130nn0ge0d 9231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
13219, 131absidd 11175 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
133132oveq2d 5890 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / (absโ€˜๐‘ƒ)) = ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ))
134129, 133eqtrd 2210 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) = ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ))
135134oveq1d 5889 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ))โ†‘2) = (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ)โ†‘2))
13612abscld 11189 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„)
137136recnd 7985 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„‚)
138137, 16, 17sqdivapd 10666 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ)โ†‘2) = (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) / (๐‘ƒโ†‘2)))
13971oveq1d 5889 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) / (๐‘ƒโ†‘2)) = ((๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)) / (๐‘ƒโ†‘2)))
14015nnsqcld 10674 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„•)
141140nncnd 8932 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
142140nnap0d 8964 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) # 0)
14365, 141, 142divcanap4d 8752 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)) / (๐‘ƒโ†‘2)) = ๐‘)
144139, 143eqtrd 2210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) / (๐‘ƒโ†‘2)) = ๐‘)
145135, 138, 1443eqtrrd 2215 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ))โ†‘2))
146 fveq2 5515 . . . . 5 (๐‘ฅ = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)))
147146oveq1d 5889 . . . 4 (๐‘ฅ = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = ((absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ))โ†‘2))
148147rspceeqv 2859 . . 3 (((((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ = ((absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ))โ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐‘ = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
149128, 145, 148syl2anc 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐‘ = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
150 2sq.1 . . 3 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
1511502sqlem1 14431 . 2 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐‘ = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
152149, 151sylibr 134 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003   โ†ฆ cmpt 4064  ran crn 4627  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  0cc0 7810  ici 7812   + caddc 7813   ยท cmul 7815   / cdiv 8628  โ„•cn 8918  2c2 8969  โ„คcz 9252  โ†‘cexp 10518  โ„œcre 10848  โ„‘cim 10849  abscabs 11005   โˆฅ cdvds 11793  โ„™cprime 12106  โ„ค[i]cgz 12366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-sup 6982  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-gcd 11943  df-prm 12107  df-gz 12367
This theorem is referenced by:  2sqlem4  14435
  Copyright terms: Public domain W3C validator