Theorem limon 4545

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 4518	. 2 ⊢ Ord On
2		0elon 4423	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3		unon 4543	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2197	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		dflim2 4401	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ ∅ ∈ On ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1181	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3446  ∪ cuni 3835  Ord word 4393  Oncon0 4394  Lim wlim 4395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402

This theorem is referenced by: (None)