Theorem limon 4526

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 4499	. 2 ⊢ Ord On
2		0elon 4406	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3		unon 4524	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2192	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		dflim2 4384	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ ∅ ∈ On ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1180	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  ∅c0 3436  ∪ cuni 3823  Ord word 4376  Oncon0 4377  Lim wlim 4378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-uni 3824  df-tr 4116  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385

This theorem is referenced by: (None)