Theorem limon 4546

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 4519	. 2 ⊢ Ord On
2		0elon 4424	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3		unon 4544	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2197	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		dflim2 4402	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ ∅ ∈ On ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1181	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3447  ∪ cuni 3836  Ord word 4394  Oncon0 4395  Lim wlim 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-tr 4129  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403

This theorem is referenced by: (None)