Theorem limon 4484

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 4457	. 2 ⊢ Ord On
2		0elon 4364	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3		unon 4482	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2168	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		dflim2 4342	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ ∅ ∈ On ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1168	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∅c0 3404  ∪ cuni 3783  Ord word 4334  Oncon0 4335  Lim wlim 4336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-tr 4075  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343

This theorem is referenced by: (None)