Theorem limon 4660

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 4633	. 2 ⊢ Ord On
2		0elon 4537	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3		unon 4658	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2242	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		dflim2 4515	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ ∅ ∈ On ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1210	1 ⊢ Lim On

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  ∪ cuni 3935  Ord word 4507  Oncon0 4508  Lim wlim 4509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516

This theorem is used by: (None)