ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  offval3 GIF version

Theorem offval3 6102
Description: General value of (𝐹𝑓 𝑅𝐺) with no assumptions on functionality of 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offval3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑅

Proof of Theorem offval3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2737 . . 3 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
21adantr 274 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → 𝐹 ∈ V)
3 elex 2737 . . 3 (𝐺𝑊𝐺 ∈ V)
43adantl 275 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → 𝐺 ∈ V)
5 dmexg 4868 . . . 4 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
6 inex1g 4118 . . . 4 (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ V)
7 mptexg 5710 . . . 4 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ V → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ∈ V)
85, 6, 73syl 17 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ∈ V)
98adantr 274 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ∈ V)
10 dmeq 4804 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → dom 𝑎 = dom 𝐹)
11 dmeq 4804 . . . . 5 (𝑏 = 𝐺 → dom 𝑏 = dom 𝐺)
1210, 11ineqan12d 3325 . . . 4 ((𝑎 = 𝐹𝑏 = 𝐺) → (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
13 fveq1 5485 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑥) = (𝐹𝑥))
14 fveq1 5485 . . . . 5 (𝑏 = 𝐺 → (𝑏𝑥) = (𝐺𝑥))
1513, 14oveqan12d 5861 . . . 4 ((𝑎 = 𝐹𝑏 = 𝐺) → ((𝑎𝑥)𝑅(𝑏𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
1612, 15mpteq12dv 4064 . . 3 ((𝑎 = 𝐹𝑏 = 𝐺) → (𝑥 ∈ (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) ↦ ((𝑎𝑥)𝑅(𝑏𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
17 df-of 6050 . . 3 𝑓 𝑅 = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) ↦ ((𝑎𝑥)𝑅(𝑏𝑥))))
1816, 17ovmpoga 5971 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ∈ V) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
192, 4, 9, 18syl3anc 1228 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1343  wcel 2136  Vcvv 2726  cin 3115  cmpt 4043  dom cdm 4604  cfv 5188  (class class class)co 5842  𝑓 cof 6048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050
This theorem is referenced by:  offres  6103
  Copyright terms: Public domain W3C validator