Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  offval3 GIF version

Theorem offval3 5943
 Description: General value of (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) with no assumptions on functionality of 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offval3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑅

Proof of Theorem offval3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2644 . . 3 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
21adantr 271 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → 𝐹 ∈ V)
3 elex 2644 . . 3 (𝐺𝑊𝐺 ∈ V)
43adantl 272 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → 𝐺 ∈ V)
5 dmexg 4729 . . . 4 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
6 inex1g 3996 . . . 4 (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ V)
7 mptexg 5561 . . . 4 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ V → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ∈ V)
85, 6, 73syl 17 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ∈ V)
98adantr 271 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ∈ V)
10 dmeq 4667 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → dom 𝑎 = dom 𝐹)
11 dmeq 4667 . . . . 5 (𝑏 = 𝐺 → dom 𝑏 = dom 𝐺)
1210, 11ineqan12d 3218 . . . 4 ((𝑎 = 𝐹𝑏 = 𝐺) → (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
13 fveq1 5339 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑥) = (𝐹𝑥))
14 fveq1 5339 . . . . 5 (𝑏 = 𝐺 → (𝑏𝑥) = (𝐺𝑥))
1513, 14oveqan12d 5709 . . . 4 ((𝑎 = 𝐹𝑏 = 𝐺) → ((𝑎𝑥)𝑅(𝑏𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
1612, 15mpteq12dv 3942 . . 3 ((𝑎 = 𝐹𝑏 = 𝐺) → (𝑥 ∈ (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) ↦ ((𝑎𝑥)𝑅(𝑏𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
17 df-of 5894 . . 3 𝑓 𝑅 = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) ↦ ((𝑎𝑥)𝑅(𝑏𝑥))))
1816, 17ovmpt2ga 5812 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ∈ V) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
192, 4, 9, 18syl3anc 1181 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ∩ cin 3012   ↦ cmpt 3921  dom cdm 4467  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690   ∘𝑓 cof 5892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-of 5894 This theorem is referenced by:  offres  5944
 Copyright terms: Public domain W3C validator