Theorem eldvap 15706

Description: The differentiable predicate. A function 𝐹 is differentiable at 𝐵 with derivative 𝐶 iff 𝐹 is defined in a neighborhood of 𝐵 and the difference quotient has limit 𝐶 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvval.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
eldvap.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
eldv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
eldv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
eldv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eldvap	⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑆,𝑧   𝑧,𝐵,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑧,𝑤)   𝑇(𝑧,𝑤)   𝐺(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem eldvap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		eldv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		eldv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		dvval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
5		dvval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	4, 5	dvfvalap 15705	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
8	7	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
9	8	eleq2d 2308	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
10		df-br 4126	. . 3 ⊢ (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹))
11	10	bicomi 132	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶)
12		breq2 4129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑤 # 𝐵))
13	12	rabbidv 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵})
14		fveq2 5690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
15	14	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
16		oveq2 6083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐵))
17	15, 16	oveq12d 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
18	13, 17	mpteq12dv 4208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))))
19		eldvap.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
20	18, 19	eqtr4di 2289	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = 𝐺)
21		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
22	20, 21	oveq12d 6093	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝐵))
23	22	opeliunxp2 4915	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵)))
24	9, 11, 23	3bitr3g 222	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  {csn 3705  ⟨cop 3708  ∪ ciun 4007   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187   × cxp 4767   ∘ ccom 4773  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167   − cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992  abscabs 11741   ↾_t crest 13570  MetOpencmopn 14850  intcnt 15117   lim_ℂ climc 15678   D cdv 15679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-pm 6915  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  dvcl  15707  dvfgg  15712  dvidlemap  15715  dvidrelem  15716  dvidsslem  15717  dvcnp2cntop  15723  dvaddxxbr  15725  dvmulxxbr  15726  dvcoapbr  15731  dvcjbr  15732  dvrecap  15737  dveflem  15750