ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eldvap GIF version

Theorem eldvap 14236
Description: The differentiable predicate. A function 𝐹 is differentiable at 𝐡 with derivative 𝐢 iff 𝐹 is defined in a neighborhood of 𝐡 and the difference quotient has limit 𝐢 at 𝐡. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
eldvap.g 𝐺 = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # 𝐡} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡)))
eldv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
eldv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
eldv.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eldvap (πœ‘ β†’ (𝐡(𝑆 D 𝐹)𝐢 ↔ (𝐡 ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴,𝑧   𝑀,𝐹,𝑧   𝑀,𝑆,𝑧   𝑧,𝐡,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑀)   𝐢(𝑧,𝑀)   𝑇(𝑧,𝑀)   𝐺(𝑧,𝑀)   𝐾(𝑧,𝑀)

Proof of Theorem eldvap
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldv.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2 eldv.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 eldv.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 dvval.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
5 dvval.k . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
64, 5dvfvalap 14235 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
71, 2, 3, 6syl3anc 1238 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
87simpld 112 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
98eleq2d 2247 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
10 df-br 4006 . . 3 (𝐡(𝑆 D 𝐹)𝐢 ↔ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹))
1110bicomi 132 . 2 (⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐡(𝑆 D 𝐹)𝐢)
12 breq2 4009 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝑀 # π‘₯ ↔ 𝑀 # 𝐡))
1312rabbidv 2728 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐡 β†’ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} = {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # 𝐡})
14 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
1514oveq2d 5893 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))
16 oveq2 5885 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) = (𝑧 βˆ’ 𝐡))
1715, 16oveq12d 5895 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡)))
1813, 17mpteq12dv 4087 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # 𝐡} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡))))
19 eldvap.g . . . . 5 𝐺 = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # 𝐡} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡)))
2018, 19eqtr4di 2228 . . . 4 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = 𝐺)
21 id 19 . . . 4 (π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ = 𝐡)
2220, 21oveq12d 5895 . . 3 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
2322opeliunxp2 4769 . 2 (⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ (𝐡 ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡)))
249, 11, 233bitr3g 222 1 (πœ‘ β†’ (𝐡(𝑆 D 𝐹)𝐢 ↔ (𝐡 ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   βŠ† wss 3131  {csn 3594  βŸ¨cop 3597  βˆͺ ciun 3888   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066   Γ— cxp 4626   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811   βˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  abscabs 11008   β†Ύt crest 12693  MetOpencmopn 13530  intcnt 13678   limβ„‚ climc 14208   D cdv 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-limced 14210  df-dvap 14211
This theorem is referenced by:  dvcl  14237  dvfgg  14242  dvidlemap  14245  dvcnp2cntop  14248  dvaddxxbr  14250  dvmulxxbr  14251  dvcoapbr  14256  dvcjbr  14257  dvrecap  14262  dveflem  14272
  Copyright terms: Public domain W3C validator