ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eldvap GIF version

Theorem eldvap 14022
Description: The differentiable predicate. A function 𝐹 is differentiable at 𝐵 with derivative 𝐶 iff 𝐹 is defined in a neighborhood of 𝐵 and the difference quotient has limit 𝐶 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
eldvap.g 𝐺 = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
eldv.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
eldv.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
eldv.a (𝜑𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
eldvap (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑆,𝑧   𝑧,𝐵,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑧,𝑤)   𝑇(𝑧,𝑤)   𝐺(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem eldvap
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldv.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 eldv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 eldv.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 dvval.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
5 dvval.k . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
64, 5dvfvalap 14021 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
71, 2, 3, 6syl3anc 1238 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
87simpld 112 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
98eleq2d 2247 . 2 (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
10 df-br 4003 . . 3 (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹))
1110bicomi 132 . 2 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶)
12 breq2 4006 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑤 # 𝑥𝑤 # 𝐵))
1312rabbidv 2726 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} = {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵})
14 fveq2 5514 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
1514oveq2d 5888 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
16 oveq2 5880 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧𝑥) = (𝑧𝐵))
1715, 16oveq12d 5890 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
1813, 17mpteq12dv 4084 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))))
19 eldvap.g . . . . 5 𝐺 = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
2018, 19eqtr4di 2228 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = 𝐺)
21 id 19 . . . 4 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
2220, 21oveq12d 5890 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝐵))
2322opeliunxp2 4766 . 2 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵)))
249, 11, 233bitr3g 222 1 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459  wss 3129  {csn 3592  cop 3595   ciun 3886   class class class wbr 4002  cmpt 4063   × cxp 4623  ccom 4629  wf 5211  cfv 5215  (class class class)co 5872  cc 7806  cmin 8124   # cap 8534   / cdiv 8625  abscabs 10999  t crest 12676  MetOpencmopn 13314  intcnt 13464   lim climc 13994   D cdv 13995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-isom 5224  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-map 6647  df-pm 6648  df-sup 6980  df-inf 6981  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-xneg 9768  df-xadd 9769  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001  df-rest 12678  df-topgen 12697  df-psmet 13316  df-xmet 13317  df-met 13318  df-bl 13319  df-mopn 13320  df-top 13367  df-topon 13380  df-bases 13412  df-ntr 13467  df-limced 13996  df-dvap 13997
This theorem is referenced by:  dvcl  14023  dvfgg  14028  dvidlemap  14031  dvcnp2cntop  14034  dvaddxxbr  14036  dvmulxxbr  14037  dvcoapbr  14042  dvcjbr  14043  dvrecap  14048  dveflem  14058
  Copyright terms: Public domain W3C validator