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Theorem sraval 13535
Description: Lemma for srabaseg 13537 through sravscag 13541. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sraval ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
Proof of Theorem sraval
Dummy variables 𝑠 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2750 . . . 4 (π‘Š ∈ 𝑉 β†’ π‘Š ∈ V)
21adantr 276 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ V)
3 df-sra 13533 . . . 4 subringAlg = (𝑀 ∈ V ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↦ (((𝑀 sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝑀 β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩)))
4 fveq2 5517 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘Š))
54pweqd 3582 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) = 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
6 id 19 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
7 oveq1 5885 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀 β†Ύs 𝑠) = (π‘Š β†Ύs 𝑠))
87opeq2d 3787 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝑀 β†Ύs 𝑠)⟩ = ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩)
96, 8oveq12d 5896 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀 sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝑀 β†Ύs 𝑠)⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩))
10 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘€) = (.rβ€˜π‘Š))
1110opeq2d 3787 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩ = ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)
129, 11oveq12d 5896 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ ((𝑀 sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝑀 β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩) = ((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1310opeq2d 3787 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩ = ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)
1412, 13oveq12d 5896 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (((𝑀 sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝑀 β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
155, 14mpteq12dv 4087 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↦ (((𝑀 sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝑀 β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘€)⟩)) = (𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
16 elex 2750 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ π‘Š ∈ V)
17 basfn 12523 . . . . . . 7 Base Fn V
18 funfvex 5534 . . . . . . . 8 ((Fun Base ∧ π‘Š ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1918funfni 5318 . . . . . . 7 ((Base Fn V ∧ π‘Š ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
2017, 19mpan 424 . . . . . 6 (π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
2120pwexd 4183 . . . . 5 (π‘Š ∈ V β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
2221mptexd 5746 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)) ∈ V)
233, 15, 16, 22fvmptd3 5612 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (subringAlg β€˜π‘Š) = (𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
242, 23syl 14 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (subringAlg β€˜π‘Š) = (𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
25 simpr 110 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
2625oveq2d 5894 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑠) = (π‘Š β†Ύs 𝑆))
2726opeq2d 3787 . . . . 5 (((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩ = ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩)
2827oveq2d 5894 . . . 4 (((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩))
2928oveq1d 5893 . . 3 (((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ ((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) = ((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
3029oveq1d 5893 . 2 (((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑠)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
31 simpr 110 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
32 elpw2g 4158 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) ∈ V β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
332, 20, 323syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
3431, 33mpbird 167 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
35 simpl 109 . . . . 5 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
36 scaslid 12614 . . . . . . 7 (Scalar = Slot (Scalarβ€˜ndx) ∧ (Scalarβ€˜ndx) ∈ β„•)
3736simpri 113 . . . . . 6 (Scalarβ€˜ndx) ∈ β„•
3837a1i 9 . . . . 5 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Scalarβ€˜ndx) ∈ β„•)
3934elexd 2752 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ V)
40 ressex 12528 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ V)
4139, 40syldan 282 . . . . 5 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ V)
42 setsex 12497 . . . . 5 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ (Scalarβ€˜ndx) ∈ β„• ∧ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ V) β†’ (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) ∈ V)
4335, 38, 41, 42syl3anc 1238 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) ∈ V)
44 vscaslid 12624 . . . . . 6 ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx) ∧ ( ·𝑠 β€˜ndx) ∈ β„•)
4544simpri 113 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜ndx) ∈ β„•
4645a1i 9 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ( ·𝑠 β€˜ndx) ∈ β„•)
47 mulrslid 12593 . . . . . 6 (.r = Slot (.rβ€˜ndx) ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
4847slotex 12492 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝑉 β†’ (.rβ€˜π‘Š) ∈ V)
4948adantr 276 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (.rβ€˜π‘Š) ∈ V)
50 setsex 12497 . . . 4 (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 β€˜ndx) ∈ β„• ∧ (.rβ€˜π‘Š) ∈ V) β†’ ((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) ∈ V)
5143, 46, 49, 50syl3anc 1238 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) ∈ V)
52 ipslid 12632 . . . . 5 (·𝑖 = Slot (Β·π‘–β€˜ndx) ∧ (Β·π‘–β€˜ndx) ∈ β„•)
5352simpri 113 . . . 4 (Β·π‘–β€˜ndx) ∈ β„•
5453a1i 9 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Β·π‘–β€˜ndx) ∈ β„•)
55 setsex 12497 . . 3 ((((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) ∈ V ∧ (Β·π‘–β€˜ndx) ∈ β„• ∧ (.rβ€˜π‘Š) ∈ V) β†’ (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) ∈ V)
5651, 54, 49, 55syl3anc 1238 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) ∈ V)
5724, 30, 34, 56fvmptd 5600 1 ((π‘Š ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  π’« cpw 3577  βŸ¨cop 3597   ↦ cmpt 4066   Fn wfn 5213  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„•cn 8922  ndxcnx 12462   sSet csts 12463  Slot cslot 12464  Basecbs 12465   β†Ύs cress 12466  .rcmulr 12540  Scalarcsca 12542   ·𝑠 cvsca 12543  Β·π‘–cip 12544  subringAlg csra 13531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-iress 12473  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-ip 12557  df-sra 13533
This theorem is referenced by:  sralemg  13536  srascag  13540  sravscag  13541  sraipg  13542  sraex  13544
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