Theorem nff1 5596

Description: Bound-variable hypothesis builder for a one-to-one function. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nff1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
nff1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nff1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nff1	⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1→𝐵

Proof of Theorem nff1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5382	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
2		nff1.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nff1.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nff1.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	2, 3, 4	nff 5530	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴⟶𝐵
6	2	nfcnv 4959	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
7	6	nffun 5400	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥Fun ◡𝐹
8	5, 7	nfan 1618	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹)
9	1, 8	nfxfr 1527	1 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1→𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104  Ⅎwnf 1513  Ⅎwnfc 2379  ^◡ccnv 4773  Fun wfun 5371  ⟶wf 5373  –1-1→wf1 5374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382

This theorem is used by:  nff1o  5637