Theorem nff1o 5581

Description: Bound-variable hypothesis builder for a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nff1o.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
nff1o.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nff1o.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nff1o	⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵

Proof of Theorem nff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 5333	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
2		nff1o.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nff1o.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nff1o.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	2, 3, 4	nff1 5540	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1→𝐵
6	2, 3, 4	nffo 5558	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–onto→𝐵
7	5, 6	nfan 1613	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
8	1, 7	nfxfr 1522	1 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 104  Ⅎwnf 1508  Ⅎwnfc 2361  –1-1→wf1 5323  –onto→wfo 5324  –1-1-onto→wf1o 5325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333

This theorem is referenced by:  nfiso  5946  nfsum1  11916  nfsum  11917  nfcprod1  12114  nfcprod  12115