Theorem nff1o 5459

Description: Bound-variable hypothesis builder for a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nff1o.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
nff1o.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nff1o.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nff1o	⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵

Proof of Theorem nff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 5223	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
2		nff1o.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nff1o.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nff1o.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	2, 3, 4	nff1 5419	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1→𝐵
6	2, 3, 4	nffo 5437	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–onto→𝐵
7	5, 6	nfan 1565	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
8	1, 7	nfxfr 1474	1 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 104  Ⅎwnf 1460  Ⅎwnfc 2306  –1-1→wf1 5213  –onto→wfo 5214  –1-1-onto→wf1o 5215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223

This theorem is referenced by:  nfiso  5806  nfsum1  11359  nfsum  11360  nfcprod1  11557  nfcprod  11558