Theorem nff1o 5502

Description: Bound-variable hypothesis builder for a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nff1o.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
nff1o.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nff1o.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nff1o	⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵

Proof of Theorem nff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 5265	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
2		nff1o.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nff1o.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nff1o.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	2, 3, 4	nff1 5461	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1→𝐵
6	2, 3, 4	nffo 5479	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–onto→𝐵
7	5, 6	nfan 1579	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
8	1, 7	nfxfr 1488	1 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 104  Ⅎwnf 1474  Ⅎwnfc 2326  –1-1→wf1 5255  –onto→wfo 5256  –1-1-onto→wf1o 5257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265

This theorem is referenced by:  nfiso  5853  nfsum1  11521  nfsum  11522  nfcprod1  11719  nfcprod  11720