Theorem 0re 8043

Description: 0 is a real number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0re	⊢ 0 ∈ ℝ

Proof of Theorem 0re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8042	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 8005	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (1 + 𝑥) = 0)
3		readdcl 8022	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
4	1, 3	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
5		eleq1 2259	. . . 4 ⊢ ((1 + 𝑥) = 0 → ((1 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
6	4, 5	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((1 + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℝ))
7	6	rexlimiv 2608	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (1 + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℝ)
8	1, 2, 7	mp2b 8	1 ⊢ 0 ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-rnegex 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-ral 2480  df-rex 2481

This theorem is referenced by:  0red  8044  0xr  8090  axmulgt0  8115  gtso  8122  0lt1  8170  ine0  8437  ltaddneg  8468  addgt0  8492  addgegt0  8493  addgtge0  8494  addge0  8495  ltaddpos  8496  ltneg  8506  leneg  8509  lt0neg1  8512  lt0neg2  8513  le0neg1  8514  le0neg2  8515  addge01  8516  suble0  8520  0le1  8525  gt0ne0i  8530  gt0ne0d  8556  lt0ne0d  8557  recexre  8622  recexgt0  8624  inelr  8628  rimul  8629  1ap0  8634  reapmul1  8639  apsqgt0  8645  msqge0  8660  mulge0  8663  recexaplem2  8696  recexap  8697  rerecclap  8774  ltm1  8890  recgt0  8894  ltmul12a  8904  lemul12a  8906  mulgt1  8907  gt0div  8914  ge0div  8915  recgt1i  8942  recreclt  8944  sup3exmid  9001  crap0  9002  nnge1  9030  nngt0  9032  nnrecgt0  9045  0ne1  9074  0le0  9096  neg1lt0  9115  halfge0  9224  iap0  9231  nn0ssre  9270  nn0ge0  9291  nn0nlt0  9292  nn0le0eq0  9294  0mnnnnn0  9298  elnnnn0b  9310  elnnnn0c  9311  elnnz  9353  0z  9354  elnnz1  9366  nn0lt10b  9423  recnz  9436  gtndiv  9438  fnn0ind  9459  rpge0  9758  rpnegap  9778  0nrp  9781  0ltpnf  9874  mnflt0  9876  xneg0  9923  xaddid1  9954  xnn0xadd0  9959  xposdif  9974  elrege0  10068  0e0icopnf  10071  0elunit  10078  1elunit  10079  divelunit  10094  lincmb01cmp  10095  iccf1o  10096  unitssre  10097  fz0to4untppr  10216  modqelico  10443  modqmuladdim  10476  addmodid  10481  xnn0nnen  10546  expubnd  10705  le2sq2  10724  bernneq2  10770  expnbnd  10772  expnlbnd  10773  faclbnd  10850  faclbnd3  10852  faclbnd6  10853  bcval4  10861  bcpasc  10875  reim0  11043  re0  11077  im0  11078  rei  11081  imi  11082  cj0  11083  caucvgre  11163  rennim  11184  sqrt0rlem  11185  sqrt0  11186  resqrexlemdecn  11194  resqrexlemnm  11200  resqrexlemgt0  11202  sqrt00  11222  sqrt9  11230  sqrt2gt1lt2  11231  leabs  11256  ltabs  11269  sqrtpclii  11312  max0addsup  11401  fimaxre2  11409  climge0  11507  iserge0  11525  fsum00  11644  arisum2  11681  0.999...  11703  fprodge0  11819  cos0  11912  ef01bndlem  11938  sin01bnd  11939  cos01bnd  11940  cos2bnd  11942  sin01gt0  11944  cos01gt0  11945  sincos2sgn  11948  sin4lt0  11949  absef  11952  absefib  11953  efieq1re  11954  epos  11963  flodddiv4  12118  gcdn0gt0  12170  nn0seqcvgd  12234  algcvgblem  12242  algcvga  12244  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem13  12470  pythagtriplem14  12471  pythagtriplem16  12473  mulgnegnn  13338  ssblps  14745  ssbl  14746  xmeter  14756  cnbl0  14854  hovera  14967  hovergt0  14970  plyrecj  15083  reeff1olem  15091  pilem3  15103  pipos  15108  sinhalfpilem  15111  sincosq1sgn  15146  sincosq2sgn  15147  sinq34lt0t  15151  coseq0q4123  15154  coseq00topi  15155  coseq0negpitopi  15156  tangtx  15158  sincos4thpi  15160  sincos6thpi  15162  cosordlem  15169  cosq34lt1  15170  cos02pilt1  15171  cos0pilt1  15172  cos11  15173  ioocosf1o  15174  log1  15186  logrpap0b  15196  logdivlti  15201  rpabscxpbnd  15260  lgsval2lem  15335  lgsval4a  15347  lgsneg  15349  lgsdilem  15352  lgsdir2lem1  15353  ex-gcd  15461  trilpolemclim  15767  trilpolemcl  15768  trilpolemisumle  15769  trilpolemeq1  15771  trilpolemlt1  15772  trirec0  15775  apdiff  15779  redc0  15788  reap0  15789  dceqnconst  15791  dcapnconst  15792  nconstwlpolemgt0  15795  neap0mkv  15800