Theorem nn0red 9431

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0red	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0red

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 9381	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3222	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℝcr 8006  ℕ₀cn0 9377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104  ax-rnegex 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-int 3924  df-inn 9119  df-n0 9378

This theorem is referenced by:  nn0cnd  9432  nn0readdcl  9436  nn01to3  9820  xnn0dcle  10006  flqmulnn0  10527  modifeq2int  10616  modaddmodup  10617  modaddmodlo  10618  modsumfzodifsn  10626  expnegap0  10777  nn0leexp2  10940  nn0le2msqd  10949  nn0opthlem2d  10951  nn0opthd  10952  faclbnd6  10974  bcval5  10993  filtinf  11021  zfz1isolemiso  11069  wrdlenge2n0  11115  ccatsymb  11145  ccatrn  11152  swrdspsleq  11207  pfxsuffeqwrdeq  11238  swrdccat3blem  11279  mertenslemi1  12054  efcllemp  12177  eftlub  12209  oddge22np1  12400  nn0oddm1d2  12428  bitsfzolem  12473  bitsfzo  12474  bitsmod  12475  gcdaddm  12513  bezoutlemsup  12538  gcdzeq  12551  dvdssqlem  12559  nninfctlemfo  12569  nn0seqcvgd  12571  lcmneg  12604  mulgcddvds  12624  qredeu  12627  pw2dvdseulemle  12697  pw2dvdseu  12698  nn0sqrtelqelz  12736  nonsq  12737  pythagtriplem3  12798  pythagtriplem6  12801  pythagtriplem7  12802  pclemub  12818  pcprendvds  12821  pcpremul  12824  pcidlem  12854  pcgcd1  12859  pc2dvds  12861  pcz  12863  pcprmpw2  12864  fldivp1  12879  pcfaclem  12880  pcfac  12881  pcbc  12882  4sqexercise1  12929  4sqexercise2  12930  4sqlemsdc  12931  4sqlem11  12932  4sqlem12  12933  4sqlem14  12935  ennnfoneleminc  12990  ennnfonelemkh  12991  ennnfonelemex  12993  ennnfonelemim  13003  psrbaglesuppg  14644  mplsubgfilemcl  14671  plyaddlem1  15429  sgmppw  15674  gausslemma2dlem0h  15743  gausslemma2dlem4  15751  gausslemma2dlem6  15754  lgseisenlem1  15757  2lgsoddprmlem2  15793  2sqlem7  15808  2sqlem8  15810