Theorem nn0red 9449

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0red	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0red

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 9399	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3223	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℝcr 8024  ℕ₀cn0 9395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122  ax-rnegex 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-int 3927  df-inn 9137  df-n0 9396

This theorem is referenced by:  nn0cnd  9450  nn0readdcl  9454  eluzmn  9755  nn01to3  9844  xnn0dcle  10030  flqmulnn0  10552  modifeq2int  10641  modaddmodup  10642  modaddmodlo  10643  modsumfzodifsn  10651  expnegap0  10802  nn0leexp2  10965  nn0le2msqd  10974  nn0opthlem2d  10976  nn0opthd  10977  faclbnd6  10999  bcval5  11018  filtinf  11046  zfz1isolemiso  11096  wrdlenge2n0  11142  ccatsymb  11172  ccatrn  11179  ccatalpha  11183  ccat2s1fvwd  11217  swrdspsleq  11241  pfxsuffeqwrdeq  11272  swrdccat3blem  11313  mertenslemi1  12089  efcllemp  12212  eftlub  12244  oddge22np1  12435  nn0oddm1d2  12463  bitsfzolem  12508  bitsfzo  12509  bitsmod  12510  gcdaddm  12548  bezoutlemsup  12573  gcdzeq  12586  dvdssqlem  12594  nninfctlemfo  12604  nn0seqcvgd  12606  lcmneg  12639  mulgcddvds  12659  qredeu  12662  pw2dvdseulemle  12732  pw2dvdseu  12733  nn0sqrtelqelz  12771  nonsq  12772  pythagtriplem3  12833  pythagtriplem6  12836  pythagtriplem7  12837  pclemub  12853  pcprendvds  12856  pcpremul  12859  pcidlem  12889  pcgcd1  12894  pc2dvds  12896  pcz  12898  pcprmpw2  12899  fldivp1  12914  pcfaclem  12915  pcfac  12916  pcbc  12917  4sqexercise1  12964  4sqexercise2  12965  4sqlemsdc  12966  4sqlem11  12967  4sqlem12  12968  4sqlem14  12970  ennnfoneleminc  13025  ennnfonelemkh  13026  ennnfonelemex  13028  ennnfonelemim  13038  psrbaglesuppg  14679  mplsubgfilemcl  14706  plyaddlem1  15464  sgmppw  15709  gausslemma2dlem0h  15778  gausslemma2dlem4  15786  gausslemma2dlem6  15789  lgseisenlem1  15792  2lgsoddprmlem2  15828  2sqlem7  15843  2sqlem8  15845  vtxdgfifival  16102  vtxdgfif  16104  vtxd0nedgbfi  16110