Theorem nn0red 9189

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0red	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0red

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 9139	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3145	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℝcr 7773  ℕ₀cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-rnegex 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-int 3832  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  nn0cnd  9190  nn0readdcl  9194  nn01to3  9576  xnn0dcle  9759  flqmulnn0  10255  modifeq2int  10342  modaddmodup  10343  modaddmodlo  10344  modsumfzodifsn  10352  expnegap0  10484  nn0leexp2  10645  nn0le2msqd  10653  nn0opthlem2d  10655  nn0opthd  10656  faclbnd6  10678  bcval5  10697  filtinf  10726  zfz1isolemiso  10774  mertenslemi1  11498  efcllemp  11621  eftlub  11653  oddge22np1  11840  nn0oddm1d2  11868  gcdaddm  11939  bezoutlemsup  11964  gcdzeq  11977  dvdssqlem  11985  nn0seqcvgd  11995  lcmneg  12028  mulgcddvds  12048  qredeu  12051  pw2dvdseulemle  12121  pw2dvdseu  12122  nn0sqrtelqelz  12160  nonsq  12161  pythagtriplem3  12221  pythagtriplem6  12224  pythagtriplem7  12225  pclemub  12241  pcprendvds  12244  pcpremul  12247  pcidlem  12276  pcgcd1  12281  pc2dvds  12283  pcz  12285  pcprmpw2  12286  fldivp1  12300  pcfaclem  12301  pcfac  12302  pcbc  12303  ennnfoneleminc  12366  ennnfonelemkh  12367  ennnfonelemex  12369  ennnfonelemim  12379  2sqlem7  13751  2sqlem8  13753