Theorem nnwetri 6893

Description: A natural number is well-ordered by E. More specifically, this order both satisfies We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnwetri	⊢ (𝐴 ∈ ω → ( E We 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem nnwetri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		ordwe 4560	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → E We 𝐴)
4		simprl 526	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
6		elnn 4590	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ω)
8		simprr 527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
9		elnn 4590	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
10	8, 5, 9	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ω)
11		nntri3or 6472	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
12		epel 4277	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
13		biid 170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
14		epel 4277	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 E 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥)
15	12, 13, 14	3orbi123i 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
16	11, 15	sylibr 133	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥))
17	7, 10, 16	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥))
18	17	ralrimivva 2552	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥))
19	3, 18	jca 304	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( E We 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 972   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   class class class wbr 3989   E cep 4272   We wwe 4315  Ord word 4347  ωcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-frfor 4316  df-frind 4317  df-wetr 4319  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575

This theorem is referenced by: (None)