Theorem nnwetri 6804

Description: A natural number is well-ordered by E. More specifically, this order both satisfies We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnwetri	⊢ (𝐴 ∈ ω → ( E We 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem nnwetri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4525	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		ordwe 4490	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → E We 𝐴)
4		simprl 520	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
6		elnn 4519	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
7	4, 5, 6	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ω)
8		simprr 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
9		elnn 4519	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
10	8, 5, 9	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ω)
11		nntri3or 6389	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
12		epel 4214	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
13		biid 170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
14		epel 4214	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 E 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥)
15	12, 13, 14	3orbi123i 1171	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
16	11, 15	sylibr 133	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥))
17	7, 10, 16	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥))
18	17	ralrimivva 2514	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥))
19	3, 18	jca 304	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( E We 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 E 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 E 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 961   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   class class class wbr 3929   E cep 4209   We wwe 4252  Ord word 4284  ωcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-frfor 4253  df-frind 4254  df-wetr 4256  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by: (None)