Theorem snidg 3738

Description: A set is a member of its singleton. Part of Theorem 7.6 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
snidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		elsng 3724	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐴} ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-sn 3715

This theorem is used by:  snidb  3739  elsn2g  3742  snnzg  3830  snmg  3831  exmidsssnc  4342  fvunsng  5912  fsnunfv  5919  1stconst  6461  2ndconst  6462  suppsnopdc  6494  tfr0dm  6598  tfrlemibxssdm  6603  tfrlemi14d  6609  tfr1onlembxssdm  6619  tfr1onlemres  6625  tfrcllembxssdm  6632  tfrcllemres  6638  mapsnd  6976  en1uniel  7097  onunsnss  7230  snon0  7255  supsnti  7352  fseq1p1m1  10518  elfzomin  10641  swrds1  11462  fsumsplitsnun  12211  divalgmod  12719  setsslid  13461  bassetsnn  13467  1strbas  13530  srnginvld  13563  lmodvscad  13581  mgm1  13749  mnd1id  13822  0subm  13850  gsumsncmn  14246  gsump1  14247  gsumsnfdcmn  14257  cnpdis  15501  upgr1edc  16600  uspgr1edc  16719  vtxd0nedgbfi  16778  1loopgrvd2fi  16784  1hegrvtxdg1fi  16788  wlk1walkdom  16838  bj-sels  17178