Theorem snidg 3723

Description: A set is a member of its singleton. Part of Theorem 7.6 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
snidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		elsng 3709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐴} ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-sn 3700

This theorem is referenced by:  snidb  3724  elsn2g  3727  snnzg  3814  snmg  3815  exmidsssnc  4321  fvunsng  5883  fsnunfv  5890  1stconst  6430  2ndconst  6431  suppsnopdc  6463  tfr0dm  6566  tfrlemibxssdm  6571  tfrlemi14d  6577  tfr1onlembxssdm  6587  tfr1onlemres  6593  tfrcllembxssdm  6600  tfrcllemres  6606  mapsnd  6936  en1uniel  7057  onunsnss  7190  snon0  7215  supsnti  7309  fseq1p1m1  10453  elfzomin  10576  swrds1  11388  fsumsplitsnun  12134  divalgmod  12642  setsslid  13351  bassetsnn  13357  1strbas  13418  srnginvld  13451  lmodvscad  13469  mgm1  13637  mnd1id  13715  0subm  13743  gfsumsn  14111  gfsump1  14112  cnpdis  15237  upgr1edc  16246  uspgr1edc  16365  vtxd0nedgbfi  16424  1loopgrvd2fi  16430  1hegrvtxdg1fi  16434  wlk1walkdom  16484  bj-sels  16824