Theorem snidg 3698

Description: A set is a member of its singleton. Part of Theorem 7.6 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
snidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		elsng 3684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐴} ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {csn 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-sn 3675

This theorem is referenced by:  snidb  3699  elsn2g  3702  snnzg  3789  snmg  3790  exmidsssnc  4293  fvunsng  5848  fsnunfv  5855  1stconst  6386  2ndconst  6387  tfr0dm  6488  tfrlemibxssdm  6493  tfrlemi14d  6499  tfr1onlembxssdm  6509  tfr1onlemres  6515  tfrcllembxssdm  6522  tfrcllemres  6528  en1uniel  6978  onunsnss  7109  snon0  7134  supsnti  7204  fseq1p1m1  10329  elfzomin  10452  swrds1  11253  fsumsplitsnun  11985  divalgmod  12493  setsslid  13138  bassetsnn  13144  1strbas  13205  srnginvld  13238  lmodvscad  13256  mgm1  13458  mnd1id  13544  0subm  13572  cnpdis  14972  upgr1edc  15978  uspgr1edc  16097  vtxd0nedgbfi  16156  1loopgrvd2fi  16162  1hegrvtxdg1fi  16166  wlk1walkdom  16216  bj-sels  16535  gfsumsn  16711  gfsump1  16712