Theorem snidg 3717

Description: A set is a member of its singleton. Part of Theorem 7.6 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
snidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		elsng 3703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐴} ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-sn 3694

This theorem is referenced by:  snidb  3718  elsn2g  3721  snnzg  3808  snmg  3809  exmidsssnc  4315  fvunsng  5877  fsnunfv  5884  1stconst  6416  2ndconst  6417  suppsnopdc  6449  tfr0dm  6552  tfrlemibxssdm  6557  tfrlemi14d  6563  tfr1onlembxssdm  6573  tfr1onlemres  6579  tfrcllembxssdm  6586  tfrcllemres  6592  mapsnd  6922  en1uniel  7043  onunsnss  7176  snon0  7201  supsnti  7295  fseq1p1m1  10427  elfzomin  10550  swrds1  11356  fsumsplitsnun  12101  divalgmod  12609  setsslid  13255  bassetsnn  13261  1strbas  13322  srnginvld  13355  lmodvscad  13373  mgm1  13575  mnd1id  13661  0subm  13689  cnpdis  15099  upgr1edc  16108  uspgr1edc  16227  vtxd0nedgbfi  16286  1loopgrvd2fi  16292  1hegrvtxdg1fi  16296  wlk1walkdom  16346  bj-sels  16676  gfsumsn  16858  gfsump1  16859