Theorem snidg 3696

Description: A set is a member of its singleton. Part of Theorem 7.6 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
snidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		elsng 3682	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐴} ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-sn 3673

This theorem is referenced by:  snidb  3697  elsn2g  3700  snnzg  3787  snmg  3788  exmidsssnc  4291  fvunsng  5843  fsnunfv  5850  1stconst  6381  2ndconst  6382  tfr0dm  6483  tfrlemibxssdm  6488  tfrlemi14d  6494  tfr1onlembxssdm  6504  tfr1onlemres  6510  tfrcllembxssdm  6517  tfrcllemres  6523  en1uniel  6973  onunsnss  7104  snon0  7128  supsnti  7198  fseq1p1m1  10322  elfzomin  10444  swrds1  11242  fsumsplitsnun  11973  divalgmod  12481  setsslid  13126  bassetsnn  13132  1strbas  13193  srnginvld  13226  lmodvscad  13244  mgm1  13446  mnd1id  13532  0subm  13560  cnpdis  14959  upgr1edc  15965  uspgr1edc  16084  vtxd0nedgbfi  16110  1loopgrvd2fi  16116  1hegrvtxdg1fi  16120  wlk1walkdom  16170  bj-sels  16459