Theorem snidg 3702

Description: A set is a member of its singleton. Part of Theorem 7.6 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
snidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		elsng 3688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐴} ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {csn 3673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-sn 3679

This theorem is referenced by:  snidb  3703  elsn2g  3706  snnzg  3793  snmg  3794  exmidsssnc  4299  fvunsng  5856  fsnunfv  5863  1stconst  6395  2ndconst  6396  suppsnopdc  6428  tfr0dm  6531  tfrlemibxssdm  6536  tfrlemi14d  6542  tfr1onlembxssdm  6552  tfr1onlemres  6558  tfrcllembxssdm  6565  tfrcllemres  6571  en1uniel  7021  onunsnss  7152  snon0  7177  supsnti  7247  fseq1p1m1  10372  elfzomin  10495  swrds1  11296  fsumsplitsnun  12041  divalgmod  12549  setsslid  13194  bassetsnn  13200  1strbas  13261  srnginvld  13294  lmodvscad  13312  mgm1  13514  mnd1id  13600  0subm  13628  cnpdis  15033  upgr1edc  16042  uspgr1edc  16161  vtxd0nedgbfi  16220  1loopgrvd2fi  16226  1hegrvtxdg1fi  16230  wlk1walkdom  16280  bj-sels  16610  gfsumsn  16794  gfsump1  16795