Theorem snidg 3738

Description: A set is a member of its singleton. Part of Theorem 7.6 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
snidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		elsng 3724	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐴} ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-sn 3715

This theorem is used by:  snidb  3739  elsn2g  3742  snnzg  3830  snmg  3831  exmidsssnc  4340  fvunsng  5909  fsnunfv  5916  1stconst  6457  2ndconst  6458  suppsnopdc  6490  tfr0dm  6593  tfrlemibxssdm  6598  tfrlemi14d  6604  tfr1onlembxssdm  6614  tfr1onlemres  6620  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllemres  6633  mapsnd  6970  en1uniel  7091  onunsnss  7224  snon0  7249  supsnti  7346  fseq1p1m1  10512  elfzomin  10635  swrds1  11455  fsumsplitsnun  12204  divalgmod  12712  setsslid  13454  bassetsnn  13460  1strbas  13522  srnginvld  13555  lmodvscad  13573  mgm1  13741  mnd1id  13814  0subm  13842  gsumsncmn  14207  gsump1  14208  cnpdis  15395  upgr1edc  16484  uspgr1edc  16603  vtxd0nedgbfi  16662  1loopgrvd2fi  16668  1hegrvtxdg1fi  16672  wlk1walkdom  16722  bj-sels  17062