Theorem ovprc2 6038

Description: The value of an operation when the second argument is a proper class. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc2	⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
2	1	con3i 635	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
4	3	ovprc 6036	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
5	2, 4	syl 14	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ∅c0 3491  dom cdm 4718  Rel wrel 4723  (class class class)co 6000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-rel 4725  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003

This theorem is referenced by: (None)