Theorem ral0 3561

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3463	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 647	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2558	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ∅c0 3459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-v 2773  df-dif 3167  df-nul 3460

This theorem is referenced by:  0iin  3985  po0  4357  so0  4372  we0  4407  ord0  4437  omsinds  4669  mpt0  5402  iso0  5885  ixp0x  6812  ac6sfi  6994  fimax2gtri  6997  dcfi  7082  nnnninfeq2  7230  nninfisollem0  7231  finomni  7241  uzsinds  10587  seq3f1olemp  10658  rexfiuz  11242  fimaxre2  11480  2prm  12391  bj-nntrans  15820