Theorem ral0 3571

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3473	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 647	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2561	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∅c0 3469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-v 2779  df-dif 3177  df-nul 3470

This theorem is referenced by:  0iin  4001  po0  4377  so0  4392  we0  4427  ord0  4457  omsinds  4689  mpt0  5424  iso0  5911  ixp0x  6838  ac6sfi  7023  fimax2gtri  7026  dcfi  7111  nnnninfeq2  7259  nninfisollem0  7260  finomni  7270  uzsinds  10628  seq3f1olemp  10699  swrd0g  11153  swrdspsleq  11160  rexfiuz  11461  fimaxre2  11699  2prm  12610  bj-nntrans  16194