Theorem ral0 3524

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3426	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 646	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2530	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∅c0 3422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-dif 3131  df-nul 3423

This theorem is referenced by:  0iin  3945  po0  4311  so0  4326  we0  4361  ord0  4391  omsinds  4621  mpt0  5343  iso0  5817  ixp0x  6725  ac6sfi  6897  fimax2gtri  6900  dcfi  6979  nnnninfeq2  7126  nninfisollem0  7127  finomni  7137  uzsinds  10441  seq3f1olemp  10501  rexfiuz  10997  fimaxre2  11234  2prm  12126  bj-nntrans  14673