Theorem ral0 3469

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3372	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 636	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2488	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∅c0 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369

This theorem is referenced by:  0iin  3879  po0  4241  so0  4256  we0  4291  ord0  4321  omsinds  4543  mpt0  5258  iso0  5726  ixp0x  6628  ac6sfi  6800  fimax2gtri  6803  finomni  7020  uzsinds  10246  seq3f1olemp  10306  rexfiuz  10793  fimaxre2  11030  2prm  11844  bj-nntrans  13320