Theorem ral0 3615

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3516	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 651	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2597	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∅c0 3512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-v 2817  df-dif 3216  df-nul 3513

This theorem is referenced by:  0iin  4055  po0  4437  so0  4452  we0  4487  ord0  4517  omsinds  4749  mpt0  5491  iso0  5996  ixp0x  6974  ac6sfi  7168  fimax2gtri  7172  dcfi  7281  nnnninfeq2  7433  nninfisollem0  7434  finomni  7444  uzsinds  10830  seq3f1olemp  10901  swrd0g  11377  swrdspsleq  11384  rexfiuz  11699  fimaxre2  11937  2prm  12849  clwwlkn1  16539  bj-nntrans  16847