Theorem ral0 3548

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3450	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 647	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2547	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∅c0 3446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-nul 3447

This theorem is referenced by:  0iin  3971  po0  4342  so0  4357  we0  4392  ord0  4422  omsinds  4654  mpt0  5381  iso0  5860  ixp0x  6780  ac6sfi  6954  fimax2gtri  6957  dcfi  7040  nnnninfeq2  7188  nninfisollem0  7189  finomni  7199  uzsinds  10515  seq3f1olemp  10586  rexfiuz  11133  fimaxre2  11370  2prm  12265  bj-nntrans  15443