Theorem ral0 3515

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3418	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 641	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2523	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∅c0 3414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-nul 3415

This theorem is referenced by:  0iin  3929  po0  4294  so0  4309  we0  4344  ord0  4374  omsinds  4604  mpt0  5323  iso0  5794  ixp0x  6701  ac6sfi  6873  fimax2gtri  6876  dcfi  6955  nnnninfeq2  7102  nninfisollem0  7103  finomni  7113  uzsinds  10387  seq3f1olemp  10447  rexfiuz  10942  fimaxre2  11179  2prm  12070  bj-nntrans  13948