Theorem ral0 3593

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3495	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 649	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2583	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∅c0 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-dif 3199  df-nul 3492

This theorem is referenced by:  0iin  4024  po0  4402  so0  4417  we0  4452  ord0  4482  omsinds  4714  mpt0  5451  iso0  5947  ixp0x  6881  ac6sfi  7068  fimax2gtri  7072  dcfi  7159  nnnninfeq2  7307  nninfisollem0  7308  finomni  7318  uzsinds  10678  seq3f1olemp  10749  swrd0g  11207  swrdspsleq  11214  rexfiuz  11515  fimaxre2  11753  2prm  12664  bj-nntrans  16369