Theorem ral0 3598

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3500	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 651	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2586	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∅c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-dif 3203  df-nul 3497

This theorem is referenced by:  0iin  4034  po0  4414  so0  4429  we0  4464  ord0  4494  omsinds  4726  mpt0  5467  iso0  5968  ixp0x  6938  ac6sfi  7130  fimax2gtri  7134  dcfi  7223  nnnninfeq2  7371  nninfisollem0  7372  finomni  7382  uzsinds  10752  seq3f1olemp  10823  swrd0g  11290  swrdspsleq  11297  rexfiuz  11612  fimaxre2  11850  2prm  12762  clwwlkn1  16342  bj-nntrans  16650