Theorem ral0 3464

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3367	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 635	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2485	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∅c0 3363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-dif 3073  df-nul 3364

This theorem is referenced by:  0iin  3871  po0  4233  so0  4248  we0  4283  ord0  4313  omsinds  4535  mpt0  5250  iso0  5718  ixp0x  6620  ac6sfi  6792  fimax2gtri  6795  finomni  7012  uzsinds  10215  seq3f1olemp  10275  rexfiuz  10761  fimaxre2  10998  2prm  11808  bj-nntrans  13149