Theorem ral0 3510

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3413	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 636	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2519	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∅c0 3409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-nul 3410

This theorem is referenced by:  0iin  3924  po0  4289  so0  4304  we0  4339  ord0  4369  omsinds  4599  mpt0  5315  iso0  5785  ixp0x  6692  ac6sfi  6864  fimax2gtri  6867  dcfi  6946  nnnninfeq2  7093  nninfisollem0  7094  finomni  7104  uzsinds  10377  seq3f1olemp  10437  rexfiuz  10931  fimaxre2  11168  2prm  12059  bj-nntrans  13833