Theorem ral0 3629

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 655	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2603	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∅c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is used by:  0iin  4071  po0  4456  so0  4471  we0  4506  ord0  4536  omsinds  4769  mpt0  5511  iso0  6023  ixp0x  7008  ac6sfi  7202  fimax2gtri  7206  dcfi  7315  nnnninfeq2  7470  nninfisollem0  7471  finomni  7481  uzsinds  10896  seq3f1olemp  10967  swrd0g  11448  swrdspsleq  11455  rexfiuz  11771  fimaxre2  12010  fiidxsupcl  12012  2prm  12924  clwwlkn1  16825  bj-nntrans  17143