Theorem ral0 3593

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3495	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 649	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2583	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∅c0 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-dif 3199  df-nul 3492

This theorem is referenced by:  0iin  4023  po0  4401  so0  4416  we0  4451  ord0  4481  omsinds  4713  mpt0  5450  iso0  5940  ixp0x  6871  ac6sfi  7056  fimax2gtri  7059  dcfi  7144  nnnninfeq2  7292  nninfisollem0  7293  finomni  7303  uzsinds  10661  seq3f1olemp  10732  swrd0g  11187  swrdspsleq  11194  rexfiuz  11495  fimaxre2  11733  2prm  12644  bj-nntrans  16272