Theorem ral0 3596

Description: Vacuous universal quantification is always true. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ral0	⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem ral0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3498	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 651	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝜑)
3	2	rgen 2585	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∅c0 3494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-dif 3202  df-nul 3495

This theorem is referenced by:  0iin  4029  po0  4408  so0  4423  we0  4458  ord0  4488  omsinds  4720  mpt0  5460  iso0  5957  ixp0x  6894  ac6sfi  7086  fimax2gtri  7090  dcfi  7179  nnnninfeq2  7327  nninfisollem0  7328  finomni  7338  uzsinds  10705  seq3f1olemp  10776  swrd0g  11240  swrdspsleq  11247  rexfiuz  11549  fimaxre2  11787  2prm  12698  clwwlkn1  16268  bj-nntrans  16546